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2.5.1向量的数量积北师大版（2019）必修第二册第二章

平面向量及其应用学习目标体会平面向量数量积与投影数量的关系，会进行平面向量数量积的运算.02理解平面向量数量积的定义及几何意义.01能运用数量积的运算性质和运算律解决相关问题.03实例分析前面我们学习了向量的加、减、数乘运算，类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘呢？如果能，那么向量的乘法该如何定义？

θSF实例分析

θsFF1与位移方向垂直的分力F2，由于没有物体在该分力的方向上产生位移，因而对物体不做功.F2

实例分析

θsFF1F2

实例分析问题：以上情境中的力、位移、功分别是数学中的什么量？这种求功的运算是一种什么样的运算？kok电子竞技：这里的力

F与位移

s都是矢量，既有大。钟蟹较，也就是我们数学中的向量，而功是一个标量，即我们数学中的数量，它由力和位移两个向量来确定，也就是说功这个数量，是力和位移这两个向量运算的结果．这种运算类似于“相乘”，又不同于“相乘”．抽象概括

抽象概括

抽象概括问题：对于任意两个非零向量

a、b，他们夹角的范围是什么呢？有哪些情况比较特殊？两向量夹角的范围是[0，π]：特殊情况a

ba

ba

ba与

b同向

a与

b反向问题：有了向量夹角的定义之后，我们就能模仿功的定义，给出向量“数量积”的定义了，你能尝试描述一下吗？定义

知识剖析

(3)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．(4)向量数量积的结果是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，而向量的加减和实数与向量的积的结果仍是向量.问题：两非零向量a与b数量积的符号由什么决定？

AA'BOabγ思考：a在b上的投影向量

γ的模与

a，b有怎样的关系？|γ|＝|a|cos<a，b>＝.|a|cos<a，b>称为投影向量

γ的数量，也称为向量

a在向量

b方向上的投影数量.投影数量是数量积的特殊情况.数量积的几何意义：数量积

a·b等于

a的长度|a|与

b在

a方向上的投影数量|b|cosθ的乘积，或

b的长度|b|与

a在

b方向上的投影数量|a|cosθ的乘积.AA'BOab|a|cosθθ问题：（1）向量b在向量a上的投影数量与向量a在向量b上的投影数量相等吗？问题：（2）当a≠0时，由a·b＝0一定能得到b＝0吗？（1）当且仅当|a|＝|b|时相等；（2）不一定，例如a⊥b时，即使b≠0，也有a·b＝0.例1

如图，已知向量

a与

b，其中|a|＝3，|b|＝4，且

a与

b的夹角θ＝150°.（1）求a·b；（2）求向量

b在

a方向上的投影数量，并画图解释.

则

探究：类比数的乘法运算律，结合向量的的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？类比：实数乘法的交换律实数乘法的结合律实数乘法的分配律猜想：a·b＝b·a

思考：以上猜测的运算律公式是否都成立呢？你能用所学知识证明吗？

求证：a·b＝b·a

数量积的性质

可以解决有关“向量不等式”的问题

常用于求向量的投影向量主要用于解决向量垂直的有关问题常用于求向量的模例2

已知向量

a，b，c，其中|a|＝4，|b|＝6，且

a与

c的夹角θ＝120°，b与

c的夹角γ＝60°，求

a＋b在

c方向上的投影数量.解：a＋b在

c方向上的投影数量为

∴a＋b在

c方向上的投影数量为1.

当堂检测D感谢您的聆听与指导Generaltemplateoffreshteaching授课人：一一