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广东省深圳市2024届高三第一次调研考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若角α的终边过点(4，3)，则A．45 B．?45 C．32．已知i为虚数单位，若z=2i1+i，则A．2 B．2 C．?2i D．2i3．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，在区间(0，+∞)上单调递增，且对任意x1A．y=ln|x| B．y=x3 C．y=24．已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a+λb在向量a上的投影向量为A．?2 B．2 C．?2335．由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为{an}，即a1=0A．34 B．33 C．32 D．306．已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，rA．28π3 B．40π3 C．56π37．已知数列{an}满足a1=a2=1，A．624 B．625 C．626 D．6508．已知双曲线E：x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为A．?378 B．?34 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（）A．众数为12 B．平均数为14C．中位数为14.5 D．第85百分位数为1610．设a>1，b>0，且A．a=b B．b?a=e C．a=2024b D．ab>e11．如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E在同一个平面内．若点M在四边形A．当M为DE的中点时，开面直线MN与CF所成角为πB．当MN∥平面ACD时，点M的轨迹长度为2C．当MA⊥ME时，点M到BC的距离可能为3D．存在一个体积为10π3的圆柱体可整体放入Ω三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，其图像关于点13．设点A(?2，0)，B(?12，0)，C(0，14．已知函数f(x)=a(x?x1)(x?x2)(x?x3)(a>0)，设曲线y=f(x)在点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．设Sn为数列{an}的前n项和，已知（1）求证：数列{a（2）若数列{bn}满足b1=6，且bn+1bn=an16．如图，在四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD是菱形，平面ABCD⊥平面PAD，点M在DP上，且DM=2MP，（1）求证：BD⊥平面ACM；（2）若∠ADC=60°，求平面ACM与平面ABP夹角的余弦值．17．在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节。每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为α(0<α<1)，1?α；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为β(（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为f(α)，求f(α)的最小值；（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为x1，x2，x3，x4，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量18．已知函数f(x)=a(x?1)e（1）当a=0时，求函数f(x)在区间[e（2）讨论函数f(x)的极值点个数；（3）当函数f(x)无极值点时，求证：asin119．已知动点P与定点A(m，0)的距离和P到定直线x=n2m的距离的比为常数mn．其中m>0，（1）求C的方程，并说明轨迹的形状；（2）设点B(?m，0)，若曲线C上两动点M，N均在x轴上方，AM∥BN，且AN与（。┑眒=22，n=4时，求证：1（ⅱ）当m>n时，记△ABQ的面积为S，其内切圆半径为r，试探究是否存在常数λ，使得S=λr恒成立？若存在，求λ（用m，

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：角α的终边过点(4，3)，则cosα=442+322．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得：z=2i1+i=2i1-i1+i1-i=1+i，3．【答案】D【解析】【解答】解：对于A：例如x1=x2=e，则f(x1x2)=lne2=2，f(x1)f(x2)=lne·lne=1，

不满足f(x1x2)=f(x1)f(x2)，不合题意，故A错误；

对于B：因为y=x3为奇函数，不合题意，故B错误；

4．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可知：a→=b因为a+λb在向量a上的投影向量为即1?12λ=2故答案为：A.

【分析】由题意可得a→=b5．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知：一位自然数有2个（即为2，4）；两位自然数有32三位自然数有33四位自然数由小到大排列为2000，可知2024为四位自然数中的第6个，所以n=1+2+6+18+6=33.故答案为：B.【分析】根据分别求一位、两位、三位的个数，并对4位排序，即可得结果.6．【答案】C【解析】【解答】解：设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，可知圆台内切球的球心设球O与母线AB切于M点，可知OM=OO1=OO2则AB=r1+r2=3r则BG=r2?因为AG2=AB2?BG所以该圆台的体积为13故答案为：C.【分析】根据题意结合圆台的轴截面分析可得r2=2r7．【答案】C【解析】【解答】解：当n为奇数时，则an+2可知数列{a则a1当n偶数时，an+2可知数列{an}则a2所以S50故答案为：C【分析】根据递推公式分析可知数列{a8．【答案】D【解析】【解答】解：因为双曲线E的离心率为2，可知c=2a，则又因为|AB|=|AF1|且|BF1|?|B在△BF1F设|AF2|=m在△AF1F由余弦定理可得：|A即(2a+m)2=(所以cos∠BAF故答案为：D

【分析】由离心率可得c=2a，根据题意结合双曲线定义可得|BF2|=2a，|BF1【解析】【解答】解：将成绩按升序排列为：8，对于A：众数为16，故A错误；对于B：平均数x=对于C：中位数为：13+162对于D：因为10×0.85=8.5，所以第85百分位数为第故答案为：BC.【分析】先将数据按升序排列，根据众数、平均数、中位数以及百分位数的定义逐项分析求解.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：因为lna=2?b，即b=2?又因为a>1，b>0，则b=2?ln对于AB：因为b?a=2?ln设函数f(a)=2?ln可知f(a)在(1则?e2<f对于C：因为ba设g(a)=2?可知g(a)在(1则0<g(a)若a=2024b，则ba对于D：因为ab=a(设h(a)令h'(a)>0，则1<a<e可知h(a)在(1，可知h(a)故答案为：AC.【分析】根据题意可得b=2?lna，1<a<e2.对于每个选项：用11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：设BD∩CE=O，连接OA，由题意可知：OD，OE，OA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(22，0，0)，B(?22对于A：若M为DE的中点，则M(可得MN=(?2，设异面直线MN与CF所成角为θ，可得cosθ=|且θ∈(0，π2]，所以异面直线对于B：设P为DE的中点，连接PN，由题意可知：PN∥AD，且AD?平面ACD，PN?平面ACD，可得PN∥平面ACD，又因为MN∥平面ACD，且MN∩PN=N，可得平面MNP∥平面ACD，由平面ACD∩平面BCDE=CD，平面MNP∩平面BCDE=PQ，可得PQ∥CD，则Q为BC的中点，则M∈PQ，所以点M的轨迹是过点O与CD平行的线段PQ，其长度为4，B错误；对于C：设M(x，y，当MA⊥ME时，则MA?ME=可知点M的轨迹以OE中点K为圆心，半径为2的圆在四边BCDE内（包含边界）的一段。ㄈ缦峦迹，且K到BC的距离为3，弧上的点到BC的距离最小值为3?2因为3?2<3，所以存在点M到BC对于D：由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥A?BCDE内接最大圆柱的体积，设圆柱底面半径为r，高为h，因为P为DE的中点，Q为BC的中点，则PQ=4，AO=22可得GHOP=AGAO，即则圆柱体积V=πr设V(r)当0<r<43时，V'(r可知V(r)在(0当r=43时，V取到最大值且322即32227>53故答案为：ACD.【分析】对于A：建系，利用空间向量求异面直线夹角；对于B：根据面面平行的性质可知点M的轨迹是过点O与CD平行的线段PQ，即可得轨迹长度；对于C：设M(x，y，0)，根据垂直关系可得点M的轨迹以OE中点K为圆心，半径为2的圆在四边BCDE内（包含边界）的一段。岷显驳男灾史治雠卸希欢杂贒：设圆柱底面半径为r，高为h，根据比例关系可得h=12．【答案】?【解析】【解答】解：因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，可得ω=2ππ=2，

又因为函数f(x)的图像关于点(2π3，0)中心对称，则4π3+φ=kπ，k∈Z，

13．【答案】2【解析】【解答】解：设P(x，由|PA|=2|PB|，得又因为AP=代入AP=λAB+μ则x+y+2=32λ+3μ=又因为(x+y)22≤即(x+y)2所以λ+2μ=23(x+y+2)故答案为：2【分析】设P(x，y)，由题意整理得x14．【答案】18【解析】【解答】解：因为f(x)=a(x?x则f'由题意可得k1=a(x则1=(由k2=?2，得1k可知x2位于x不妨设x1<x可得k1当且仅当k1k3所以k1故答案为：18【分析】根据题意结合导数的几何意义分析可得1k1+15．【答案】（1）证明：设等差数列{Snn}的公差为d，则S因为S2=a1+a由①、②解得S1=2，d=1，所以当n≥2时，an当n=1时，a1=S因为当n≥2时，an?a（2）解：由（1）可知bn+1当n≥2时，bn因为b1=6满足上式，所以Tn因为当12n+1∈N*时，【解析】【分析】(1)设等差数列{Snn}的公差为d，根据题意解得S1=2，d=1，则Sn=n(n+1)，再结合16．【答案】（1）证明：不妨设AD=AP=3，∴DP=33由余弦定理得AM=A在△ADM中，AD∵平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD=AD，MA?平面∴MA⊥平面ABCD．∵BD?平面ABCD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵AC∩MA=A，且AC?平面ACM，MA?平面ACM，（2）解：在平面ABCD内，过点B作AD的垂线，垂足为N，∵平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD=AD，∴BN⊥平面ADP，又∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，∴△ACD，以点A为坐标原点，AD，AM及过点A平行于NB的直线分别为则A(0，由（1）BD⊥平面ACM，∴BD=(9设平面ABP的法向量为m=(x则AB?m=0令x=3，可得m∵|cos∴平面ACM与平面ABP的夹角的余弦值为55【解析】【分析】(1)根据面面垂直的性质定理可证MA⊥平面ABCD，进而结合线面垂直的性质、判定定理分析证明；

(2)过点B作AD的垂线，垂足为N，可得BN⊥平面ADP，建系，利用空间向量求面面夹角.17．【答案】（1）解：由题可知f(α)=α因为0<α<1，所以当α=12时，f(α)的最小值为（2）解：由题设知，X的可能取值为1，2，3，4．①当X=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．因此，P(X=1)=2②当X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．因此，P(X=2)=(③当X=3时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．因此，P(X=3)=(④当X=4时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．因此，P(X=4)=(所以X的分布列为X1234P842017因此，X的数学期望E(X)=1×8【解析】【分析】(1)根据题意求得f(α)=3(α?12)218．【答案】（1）解：当a=0时，f(x)=?2xlnx?x则f'令g(x)=f'(x)因为x∈[e?2，1]，所以g'又因为f'所以?x0∈(e?2，1)因此，f(x)在[e?2，1]上的最小值是因为f(e所以函数f(x)在[e?2，（2）解：f'由f'(x)=0，解得易知函数y=lnx+x+1在(0，+∞)上单调递增，且值域为令lnx+x+1=t，由f'(x)=0，解得设h(t)=2tet因为当t<1时，h'(t)>0，当t>1时，h'(t)<0，所以函数h(t)在根据h(1)=2e，得h(t)的大致图像如图所示．因此有：（。┑盿>2e时，方程h(t)=a无解，即f'（ⅱ）当a=2e时，利用ex≥x+1，得f'（ⅲ）当0<a<2e时，方程h(t)=a有两个解，即f'（ⅳ）当a≤0时，方程h(t)=a有一个解，即f'(x)有一个零点，综上，当a≤0时，f(x)有一个极值点；当0<a<2e时，f(x)有两个极值点；当a≥2（3）证明：先证明当x∈(0，π4设n(x)=sinxx(x∈(0记p(x)=xcosx?sinx(x∈(0，π4))，则当x∈(0，π4)时，p(x)<p(0)=0，n'即当x∈(0，π4由（2）知，当函数f(x)无极值点时，a≥2e，则在不等式sinxx>22π即不等式asin1【解析】【分析】(1)当a=0时，可得f(x)=?2xlnx?x2，利用导数判定原函数单调性，进而分析最值；

(2)求导，同构结合f'(x)=0可得a=2tet，构建函数h(t)=2tet，利用导数分析h(t)的单调性和最值，分类讨论判定零点个数，即可得解；19．【答案】（1）解：设点P(x，y)，由题意可知即(x?m经化简，得C的方程为x2当m<n时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆；当m>n时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线．（2）设点M(x1，y1（。┯桑1）可知C的方程为x2因为AM∥BN，所以y1因此，M，A，（法一）设直线MM'的方程为x=ty+22，联立C则y1由（1）可知|AM|=2所以1=4?（法二）设∠MAx=θ，则有|AM|22?|AM|cosθ同理由|AM'|所以1|AM|由椭圆定义|BQ|+|QM|+|MA|=8，得|QM|=8?|BQ|?|AM|，∵AM∥BN，解得|BQ|=(8?|AM|)?|BN|同理可得|AQ|=(8?|BN|)?|AM|所以|AQ|+|BQ|==8?2因为|AB|=42，所以△ABQ的周长为6+4（ⅱ）当m>n时，曲线C的方程为x2根据（。┑闹っ，同理可得M，A，（法一）设直线MM'的方程为x=sy+m，联立得[(m∴y因为|AM|=m所以1==sm将（*）代入上式，化简得1|AM|（法二）设∠MAx=θ，依条件有|AM|(m?n2同理由|AM'|所以1|AM|由双曲线的定义|BQ|+|QM|?|MA|=2n，得|QM|=2n+|AM|?|BQ|，根据|AM||BN|=|QM|同理根据|AM||BN|=|AQ|所以|AQ|+|BQ|==2n+2由内切圆性质可知，S=1当S=λr时，λ=1因此，存在常数λ使得S=λr恒成立，且λ=(【解析】【分析】(1)点P(x，y)，根据题意整理得(x?m)2+y2=(mnx?n)2，结合椭圆、双曲线方程分析判断；

(2)设点M(x1，y1)，