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学年天津中学高二数学上学期第二次月考试卷一、单选题(本大题共10小题)1.已知椭圆的焦距为8,且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10,则椭圆的标准方程为(

)A. B.或C. D.或2.若数列满足,且,则()A. B.2 C. D.3.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为(

)A. B. C. D.4.已知曲线表示双曲线,则实数m的取值范围是(

)A. B. C. D.5.在等差数列中,如果,那么(

)A.95 B.100 C.135 D.806.在空间直角坐标系中,点关于平面的对称点为,则(

)A. B. C. D.7.已知数列是递增数列,且对于任意,则实数的取值范围是()A. B. C. D.8.等比数列的前项和为,若,,,,则(

)A.30 B.31 C.62 D.639.作圆上一点处的切线,直线与直线平行,则直线与的距离为(

)A.4 B.2 C. D.10.已知双曲线的右焦点为F,以F为圆心,为半径的圆与双曲线E的一条渐近线交于A,B两点,若,则双曲线E的离心率为(

)A. B. C. D.3二、填空题(本大题共5小题)11.以坐标原点为顶点,为焦点的抛物线的标准方程为.12.已知数列的前项和为,且,则13.若等差数列满足,,则当时,的前项和最小.14.若直线与曲线恰有一个公共点,则实数b的取值范围为.15.已知抛物线的焦点为F,点在抛物线上,且满足,设弦的中点M到y轴的距离为d,则的最小值为.三、解答题(本大题共5小题)16.在公差不为零的等差数列中,,且为和的等比中项,求:(1)数列的通项公式;(2)数列的前项和.17.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A,B两点,,求直线l的方程.18.已知数列满足,且.(1)求证:数列是等差数列,并求出数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和为.19.如图,在三棱柱中,平面,(1)求证:平面;(2)若,求①与平面所成角的正弦值;②直线与平面的距离.20.设,是椭圆上的两点,已知向量,,若且椭圆的离心率,短轴长为2,为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)试问:的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

参考答案1.【答案】B【详解】由题意可知,,,即,,,所以椭圆的标准方程为或.故。築2.【答案】D【详解】,所以,所以,所以数列周期为3,由,可得,所以.故。篋3.【答案】A【分析】由已知可得,抛物线的焦点坐标为,双曲线的渐近线方程为,再由点到直线的距离公式即可求得距离.【详解】由,得焦点坐标为,又双曲线渐近线方程为,即,则由点到直线的距离公式得.故选A.4.【答案】A【分析】根据双曲线方程的特征进行求解皆可.【详解】由题意知,解得,所以实数m的取值范围是.故选A.5.【答案】B【详解】在等差数列中,成等差数列,后者等数数列的公差为,则.故。築.6.【答案】D【详解】由题意,空间直角坐标系中,点关于平面的对称点,所以,则,故选D.7.【答案】C【详解】因为,且数列是递增数列,所以,即.故。篊8.【答案】B【详解】因为数列为等比数列,且,,所以为递增数列.,且,所以,,所以,。所以.故。築9.【答案】A【分析】判断点在圆上,求出直线的斜率,确定出切线的斜率,求出的方程,得出,根据直线与直线平行,利用平行线的距离公式求出与的距离即可.【详解】将点代入圆的方程:,所以点在圆上,因为:圆心,所以直线的斜率:,所以:切线的斜率为:,的方程为:,即:,又因为:直线与直线平行,所以:.所以:直线与直线的距离:,故A项正确.故。篈.10.【答案】A【分析】求出双曲线的渐近线方程,利用点到直线距离、圆的弦长公式及勾股定理建立关系求得,即可求出离心率.【详解】令点,双曲线的渐近线方程为,由对称性不妨取直线,取中点,连接,则,,而,由,得,在中,,则,解得,所以双曲线E的离心率.故选A.11.【答案】【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点,焦点为,说明抛物线为开口向右的标准抛物线,设为,所以,解得.所以抛物线方程为.故答案为:12.【答案】【详解】当时,;当时,,,两式相减得,不适合,故.故答案为:13.【答案】18【详解】由,所以,又,所以,所以当时,的前项和最小.故答案为:1814.【答案】【详解】曲线,即,表示以原点为圆心、1为半径的半圆(位于y轴及右侧的部分),如图,

当直线经过点时,;当直线经过点时,;当直线和圆相切时,由圆心到直线的距离等于半径可得,求得(舍去),或,观察图象,得当直线与曲线恰有一个公共点,实数b的取值范围为.故答案为:15.【答案】1【分析】设,利用余弦定理表示出,利用抛物线定义结合梯形中位线性质表示出,从而可得的表达式,进而利用基本不等式化简,可求得答案.【详解】由抛物线可得准线方程为,设,由余弦定理可得,由抛物线定义可得P到准线的距离等于,Q到准线的距离等于,M为的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线的距离为,则弦的中点M到y轴的距离,故,又,则,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为1,故答案为:1【点睛】关键点点睛:本题综合性较强,涉及到余弦定理和抛物线定义以及基本不等式等,解答的关键是利用抛物线的定义表示出弦的中点M到y轴的距离,结合余弦定理表示出的表达式,进而转化为利用基本不等式求最值问题.16.【答案】(1)(2)【详解】(1)设等差数列的公差为,由为和的等比中项,则,又,则,解得,或(舍去),所以.(2)根据等差数列前n项和公式得.17.【答案】(1);(2)或.【详解】(1)设点是曲线C上任意一点,那么点满足:.化简得曲线C的方程为.(2)由题意得,直线的方程为,设,.由得.因为,故,所以.由题设知,解得或.因此直线的方程为或.18.【答案】(1)证明见解析,

(2)【详解】(1)证明:

数列是等差数列,且公差,其首项为:,解得:(2)由(1)得:19.【答案】(1)证明见解析;(2)①;②.【分析】(1)根据线面平行的判定定理,主要证明即可;(2)建立坐标系,先求出平面的法向量,利用空间向量解决.(1)在三棱柱中,四边形为平行四边形.所以,因为平面,平面,所以平面.(2)因为平面,平面,所以,,又,所以两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系,则,所以,,,设平面的法向量为,则,即令,则,,于是.①设直线与平面所成的角为,则.所以与平面所成角的正弦值为.②因为面,所以直线与平面的距离就是点到平面的距离设A到面的距离为,则20.【答案】(1);(2)△AOB的面积为定值1,证明见解析.【详解】(1)∵由题意知,,则,∴椭圆的方程为;(2)证明:①如下图,当直线斜率不存在时,即,由得又在椭圆上,所以,所以三角形的面积为定值.②如下图,当直线斜率存在时:设的方程为必须即得到,∵,∴代入整理得:,,,所以的面积为定值.

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