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PAGEPAGE1课时作业19两条直线平行与垂直的判定(二)基础巩固1.已知直线l的倾斜角为20°,直线l1∥l,直线l2⊥l,则直线l1与l2的倾斜角分别是()A.20°,20° B.70°,70° C.20°,110° D.110°,20°解析:∵直线l的倾斜角为20°,l1∥l,∴l1的倾斜角α=20°.∵l2⊥l,∴l2的倾斜角为20°+90°=110°.答案:C2.已知直线l1和l2相互垂直,且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为()A.(2,0) B.(0,2)C.(0,1) D.(1,0)解析:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,l2与y轴交点坐标为(0,b),∵l1⊥l2,∴k1k2=-1.∴eq\f(1-0,1-0)×eq\f(b-1,0-1)=-1,解得b=2,即l2与y轴交点的坐标为(0,2).答案:B3.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A点为直角顶点的直角三角形D.以B点为直角顶点的直角三角形解析:易知kAB=eq\f(-1-1,2+1)=-eq\f(2,3),kAC=eq\f(4-1,1+1)=eq\f(3,2),∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC,∠A为直角.答案:C4.若直线l1的斜率k1=eq\f(3,4),直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,则实数a的值为()A.1 B.3C.0或1 D.1或3解析:∵l1⊥l2,∴k1·k2=-1,即eq\f(3,4)×eq\f(a2+1-(-2),0-3a)=-1,解得a=1或a=3.答案:D5.已知直线l1过点A(-2,3),B(4,m),直线l2过点M(1,0),N(0,m-4),若l1⊥l2,则常数m的值是________.解析:由l1⊥l2,得kAB·kMN=-1,所以eq\f(m-3,4+2)·eq\f(m-4,0-1)=-1,解得m=1或6.答案:1或6实力提升1.设点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论:①PQ∥SR;②PQ⊥PS;③PS∥QS;④RP⊥QS.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析:由斜率公式知:kPQ=eq\f(-4-2,6+4)=-eq\f(3,5),kSR=eq\f(12-6,2-12)=-eq\f(3,5),kPS=eq\f(12-2,2+4)=eq\f(5,3),kQS=eq\f(12+4,2-6)=-4,kPR=eq\f(6-2,12+4)=eq\f(1,4),所以PQ∥SR,PS⊥PQ,RP⊥QS.而kPS≠kQS,所以PS与QS不平行,故①②④正确,选C.答案:C2.若直线l经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与经过点(-2,1)斜率为-eq\f(2,3)的直线垂直,则实数a的值为()A.-eq\f(2,3) B.-eq\f(3,2) C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)解析:易知a=0不符合题意.直线l的斜率k=eq\f(2,-a-2-a+2)=-eq\f(1,a)(a≠0),所以-eq\f(1,a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2,3)))=-1,所以a=-eq\f(2,3),故选A.答案:A3.若点P(a,b)与Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则直线l的倾斜角α为()A.135° B.45°C.30° D.60°解析:由题意知,PQ⊥l.∵kPQ=eq\f(a+1-b,b-1-a)=-1,∴kl=1,即tanα=1,∴α=45°.答案:B4.过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(7,3))),B(7,0)的直线l1与过点C(2,1),D(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于()A.-3 B.3 C.-6 D.6解析:如图1所示,∵圆的内接四边形对角互补,∴l1和l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则l1⊥l2,∴k1k2=-1.图1∵k1=eq\f(\f(7,3),-7)=-eq\f(1,3),k2=eq\f(k+1-1,3-2)=k,∴k=3.答案:B5.已知直线l的倾斜角为eq\f(3π,4),直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b等于()A.-4 B.-2C.0 D.2解析:∵l的斜率为-1,则l1的斜率为1,∴kAB=eq\f(2-(-1),3-a)=1,∴a=0.由l1∥l2,得-eq\f(2,b)=1,得b=-2,所以a+b=-2.答案:B6.已知点A(0,1),点B的横坐标x与纵坐标y满意x+y=0.若AB⊥OB,则点B的坐标是________.解析:设点B的坐标为(x,-x),∵AB⊥OB,∴x≠0,且eq\f(-x-1,x)·eq\f(-x,x)=-1,解得x=-eq\f(1,2).∴点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2))).答案:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2)))7.若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为________.解析:由两点的斜率公式可得:kPQ=eq\f(3-a-b,3-b-a)=1,所以线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.答案:-18.在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点按逆时针依次依次是O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t∈(0,+∞),试推断四边形OPQR的形态,并给出证明.解:OP边所在直线的斜率kOP=t,QR边所在直线的斜率kQR=eq\f((t+2)-2,(1-2t)-(-2t))=t,OR边所在直线的斜率kOR=-eq\f(1,t),PQ边所在直线的斜率kPQ=eq\f((2+t)-t,(1-2t)-1)=-eq\f(1,t).∵kOP=kQR,kOR=kPQ,∴OP∥QR,OR∥PQ,∴四边形OPQR是平行四边形.又kQR·kOR=t·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,t)))=-1,∴QR⊥OR.∴四边形OPQR是矩形.9.已知平行四边形ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).(1)求点D的坐标;(2)试判定平行四边形ABCD是否为菱形?解:(1)设D(a,b),由平行四边形ABCD,得kAB=kCD,kAD=kBC,即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0-2,5-1)=\f(b-4,a-3),,\f(b-2,a-1)=\f(4-0,3-5).))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=-1,,b=6.))∴D(-1,6).(2)∵kAC=eq\f(4-2,3-1)=1,kBD=eq\f(6-0,-1-5)=-1,∴kAC·kBD=-1,∴AC⊥BD.∴平行四边形ABCD为菱形10.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.解:由斜率公式可得kAB=eq\f(6-(-4),6-(-2))=eq\f(5,4),kBC=eq\f(6-6,6-0)=0,kAC=eq\f(6-(-4),0-(-2))=5.由kBC=0知直线BC∥x轴,故BC边上的高线与x轴垂直,其斜率不存在.图2设AB,AC边上高线的斜率分别为k1,k2,由k1kAB=-1,k2kAC=-1,即eq\f(5,4)k1=-1,5k2=-1,解得k1=-eq\f(4,5),k2=-eq\f(1,5).综上可知,BC边上的高所在直线的斜率不存在;AB边上的高所在直线的斜率为-eq\f(4,5);AC边上的高所在直线的斜率为-eq\f(1,5).
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