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第1页/共1页2022北京十四中初三（上）期中数学一、选择题：（本题共20分，每小题2分）1.下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.戴口罩讲卫生 B.勤洗手勤通风C.有症状早就医 D.少出门少聚集2.抛物线的顶点坐标是（）A B. C. D.3.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断4.若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（）．A.1 B. C.±1 D.不存在5.点，在二次函数的图象上，与的大小关系是（）A. B. C. D.无法比较6.如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为，则下列结论中正确的是（）．A.B.C.当时，y随x的增大而增大D.是一元二次方程的一个根7.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A. B. C. D.8.如图，直线与轴，轴分别交于，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是（）A. B. C. D.9.如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A点A B.点B C.点C D.点D10.一元二次方程的两个实根分别为，且，则（）A. B. C. D.二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11.已知是二次函数，则常数m的取值范围是___________．12.二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值为________．13.将二次函数用配方法化成的形式为y=__________．14.二次函数，当时，y的取值范围是___________．15.新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市。夜履茉雌到改晗哿咳虻谝，年某款新能源车销售量为万辆，销售量逐年增加，到年销售量为万辆，则这款新能源汽车的年平均增长率是___________．16.如下图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为；②若点在这个二次函数图象上，则；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为；④当时，；所有正确结论的序号是___________．17.廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF=________．18.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．如果函数是以3为上确界的有上界函数，则实数___________．三、解答题：（本题共64分，第19题，每小题3分，第20题4分，第21~23题每小题5分，第24题7分，第25~26题每小题6分，第27~28题每小题7分）19.解关于x的方程：（1）（2）（3）（4）20.已知是方程的一个根，求代数式的值．21.己知：二次函数中的x和y满足下表：x…012345…y…m10n…（1）根据表格，这个二次函数的对称轴为___________，___________；（2）求出这个二次函数的解析式以及n的值．22.在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位在中，．（1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形；（2）若点B的坐标为，试在图中画出直角坐标系，则A点坐标为___________，C点坐标为___________．（3）若点是点C关于原点的对称点，则的坐标为___________．23.已知关于的方程．（1）求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根；（2）如果该方程的两个实数根均为正数，求的最小整数值．24.己知二次函数．（1）二次函数图像的顶点坐标___________；与x轴的两交点为A、B，且点A在点B的左侧，则A点坐标为___________，B点坐标为___________；（2）在平面直角坐标系中，画出该二次函数的图像；x……y……（3）若抛物线上有一点P，使得的面积为3，则点P的坐标为___________．25.如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE,（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．26.平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．（1）当时，①抛物线的对称轴为直线______，顶点的纵坐标为______（用含n的代数式表示）；②若点，都在抛物线上，且，则的取值范围______；（2）已知点，将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．27.四边形是正方形，将线段绕点C逆时针旋转（），得到线段，，连接，过点B作交的延长线于点F，连接．（1）依题意补全图1；（2）___________；（3）连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．28.对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点．例：已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点．（1）已知：，，点，①在，，中，是覆盖特征点的为___________；②若在一次函数图像上存在的覆盖的特征点，求的取值范围．（2）以点D（3，4）为圆心，半径为作圆，在抛物线上存在⊙的覆盖的特征点，直接写出的取值范围__________________．

参考答案一、选择题：（本题共20分，每小题2分）1.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故。篊．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣3，∴该抛物线的顶点坐标为（2，﹣3），故。篋．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3.【答案】C【解析】【分析】计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况．【详解】∵a＝１，b=-3，c=4而∴一元二次方程没有实数根故。篊【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式的值的情况可以判断方程有无实数根．4.【答案】B【解析】【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【详解】解：依题意可得m-1≠0，解得m=-1故。築．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．5.【答案】C【解析】【分析】分别将点，代入求得的与的值，再比较大小即可．【详解】解：将点代入，得，将点代入，得，∵，∴，故。篊．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数图象与系数的关系、二次函数的增减性以及函数图像与x轴交点坐标等知识即逐项判定即可．【详解】解：由二次函数图象的开口方向向下可得a是负数，所以A选项错误；由函数图像与y轴的交点在正半轴可得c是正数，所以B选项错误；当x>1时，y随x的增大而减。蔆选项结论错误；∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（?1，0），对称轴是直线x＝1，设另一交点为（x，0），则?1＋x＝2×1，即x＝3，∴另一交点坐标是（3，0），∴x＝3是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，故本选项结论正确．故。篋．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图象的增减性、抛物线与x轴的交点等知识点，灵活运用二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解答本题的关键．7.【答案】C【解析】【分析】先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可．【详解】解：画树状图如下：所以共4种情况：其中满足题意的有两种，所以两次记录的数字之和为3的概率是故选C．【点睛】本题考查的是画树状图求解概率，掌握画树状图求概率是解题的关键．8.【答案】D【解析】【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，4），A点坐标为（3，0），则OA＝3，OB＝4，再根据旋转的性质得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝3，CD＝OB＝4，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点D坐标．【详解】当x＝0时，＝4，则B点坐标为（0，4）；当y＝0时，?x＋4＝0，解得x＝3，则A点坐标为（3，0），则OA＝3，OB＝4，∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到，∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝3，CD＝OB＝4，即AC⊥x轴，CD∥x轴，∴点D坐标为（7，3）．故。篋．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．9.【答案】B【解析】【分析】连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，交点为旋转中心．【详解】如图，∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，∴连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故。築．【点睛】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，以及旋转的性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．10.【答案】A【解析】【分析】先令求出函数的图像与x轴的交点，画出函数图像，利用数形结合即可求出的取值范围．【详解】解：令，则函数的图像与x轴的交点分别为，故此函数的图像为：∵，∴．故。篈．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的分布，抛物线与x轴的交点，能根据x轴上点的坐标特点求出函数与x轴的交点，画出函数图像，利用数形结合解答是解答此题的关键．二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可得出答案．【详解】解：∵是二次函数，∴，即，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的一般式为（，为常数）是解本题的关键．12.【答案】【解析】【分析】根据△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到△=（-2）2-4m=0，然后解关于m的方程即可．【详解】根据题意得△=（-2）2-4m=0，

解得m=1．

故答案是：1．【点睛】考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．13.【答案】【解析】【分析】利用配方法即可把一般式转化为顶点式．【详解】，，．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数三种形式：一般式：，顶点式：；两点式：．正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．14.【答案】【解析】【分析】对称轴在和2之间，然后确定和2哪个离对称轴较远，从而代入确定y的范围．【详解】解：∵二次函数，∴当时有最小值是2，∵，当时有最大值是，∴当时，y的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定最小值，难度不大．15.【答案】【解析】【分析】设这款新能源汽车的年平均增长率是，利用年某款新能源汽车的销售量年某款新能源汽车的销售量×（1＋年平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设年平均增长率为x，

根据题意可列方程：．

解得：（不合题意，舍去）．

答：这款新能源汽车的年平均增长率是，故答案为：．【点睛】本题考查了由一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.【答案】②③##③②【解析】【分析】根据待定系数法求出关系式，可判断①，根据二次函数的图像的对称性可判断②③，根据二次函数的图像，可直接判断④．【详解】解：由二次函数图像可知：，把代入得：，解得：，即：，故①错误；点，在这个二次函数图象上，又∵抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为：直线，且，∴，故②正确；∵抛物线的对称轴为：直线，与x轴的一个交点坐标为，∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为，故③正确；由二次函数的图像可知：当时，，故④错误．∴正确结论的序号是：②③．故答案为：②③．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性是解题的关键．17.【答案】米【解析】【分析】已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把y=8代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长．【详解】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯”，

把y=8代入得：

x=±4，

∴由两点间距离公式得：EF=8（米），故答案为：8米．【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，读懂题意，筛选信息是解题的关键18.【答案】【解析】【分析】当时，，可得（舍）；当时，，可得（舍）；当时，，可得；当时，，可得（舍）．【详解】解：的对称轴为直线，当时，y的最大值为，∵3为上确界，∴，∴（舍）；当时，y的最大值为，∵3为上确界，∴，∴（舍）；当时，y的最大值为，∵3为上确界，∴，∴；当时，y的最大值为，∵3为上确界，∴，∴（舍），综上所述：a的值为，故答案为：．【点睛】本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图像及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．三、解答题：（本题共64分，第19题，每小题3分，第20题4分，第21~23题每小题5分，第24题7分，第25~26题每小题6分，第27~28题每小题7分）19.【答案】（1）（2）（3），（4）【解析】【分析】（1）提取公因式，进行因式分解求解；（2）利用公式法进行求解；（3）先移项得到，然后利用因式分解法解方程；（4）先移项得到，然后利用平方差公式求解．【小问1详解】解：解得：【小问2详解】解：；【小问3详解】解：，，，或，所以，；【小问4详解】解：或解得：．【点睛】此题考查了解二元一次方程因式分解法，直接开方法，以及配方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．20.【答案】7【解析】【分析】由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可．【详解】解：∵是方程的一个根，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值是解题的关键．21.【答案】（1），0（2）；【解析】【分析】（1）根据表中的对应值可知，当与时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴，根据二次函数的对称性可知的值；（2）利用待定系数法求出二次函数解析式，然后将代入解析式中可得．【小问1详解】解：∵由表中的对应值可知，当与时y的值相等，∴对称轴是直线，∵点关于直线对称点为，∴，故答案为：，0；【小问2详解】∵二次函数的图像经过点，∴设二次函数的解析式为，∵图像经过点，∴，∴，∴这个二次函数的解析式为，当时，，∴．【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．22.【答案】（1）见解析（2）直角坐标系见解析，，；（3）【解析】【分析】（1）根据旋转的性质画出旋转后的图形即可；（2）根据点B的坐标为作出直角坐标系，写出点的坐标即可；（3）根据关于原点对称的两个点横纵坐标均互为相反数即可得出答案．【小问1详解】解：如图，即为所作：【小问2详解】直角坐标系如图：则A点坐标为，C点坐标为，故答案为：，；【小问3详解】∵点是点C关于原点的对称点，∴,故答案为：．【点睛】本题考查了旋转－作图，坐标与图形，关于原点对称，熟练掌握平面直角坐标系以及旋转的性质是解本题的关键．23.【答案】（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号证明；（2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根均为正数，列出不等式求出的范围，继而得到其最小整数值；【详解】解：（1）由题意，得△=，∴无论m取任何实数时，方程总有两个实数根．（2）∵，∴，．∵该方程的两个根均为正数，∴，∴．∵m取最小整数；∴．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根；同时考查公式法解一元二次方程及解一元一次不等式．24.【答案】（1），，（2）见解析（3）或【解析】【分析】（1）将二次函数一般式整理为顶点式，即可得出其顶点坐标，令，求解即可得出坐标；（2）列表，描点，连线即可；（3）求出边上的高，即得出了点的纵坐标，进而得出点的坐标．【小问1详解】解：∵，∴图像的顶点坐标为，令，则，即，∴，∵点A在点B的左侧，∴A点坐标为，B点坐标为，故答案为：，，；【小问2详解】列表如下：x…01234…y…3003…描点，连线：【小问3详解】∵A点坐标为，B点坐标为，∴，∵的面积为3，∴的边上的高为3，∴，解得：或，∴点P的坐标为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了二次函数的一般式化为顶点式，求抛物线与轴的交点坐标，画二次函数图像等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．25.【答案】（1）证明见解析；（2）∠BED=45°【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；（2）由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB=∠ADC．（2）如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．26.【答案】（1）①，；②或（2）或或【解析】【分析】（1）①把代入抛物线解析式，利用，求出对称轴，然后把顶点横坐标代入，即可用含的式子表示出顶点的纵坐标；②利用抛物线的对称性，及开口向上，可知离对称轴越远，函数值越大，从而可解；（2）把代入，再分抛物线经过点，抛物线经过点，抛物线的顶点在线段上，三种情况分类讨论，得出相应的值，从而得结论．【小问1详解】解：①把代入抛物线解析式得：，∴抛物线的对称轴为直线，把x=1代入抛物线解析式得：，∴抛物线顶点的纵坐标为；故答案为，；②由抛物线解析式可知：开口向上，对称轴为直线，∴当抛物线上点离对称轴越近其所对应的函数值越。叩，都在抛物线上，且，∴的取值范围为或；故答案为或；【小问2详解】解：∵点向右平移4个单位得到点Q，∴点Q的坐标为．∵，∴抛物线为．当抛物线经过点时，，解得．当抛物线经过点时，，解得．当抛物线的顶点在线段PQ上时，，解得．∴m的取值范围是或或．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的对称性和抛物线与线段交点个数的问题，属于中等难度的题目．27.【答案】（1）见解析（2）（3），理由见解析【解析】【分析】（1）按照题中的表述画出图形即可；（2）的度数为．由题意得，，根据三角形内角和与互余关系分别推理即可；（3）作，交的延长线于点H，判定，可得，，从而可得与的数量关系，则可得线段与的数量关系．【小问1详解】解：补全图形，如图所示：【小问2详解】．理由如下：设与交于点G，如图2所示：由题意得，，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，故答案为：；【小问3详解】．证明：如图，作，交的延长线于点H，由（2）得．∴．∵，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴．∴．∴．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、互余关系及全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．28.【答案】（1）①，；②m≥-1且m≠0；（2）或【解析】【分析】（1）①根据覆盖的定义线段AB坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可判断②先找覆盖的特征点，将特征点代入函数，求出m的值，结合图像即可求出范围；（2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则（4，5）为覆盖的特征点，当时，代入抛物线得，，结合图像得，，在直线x=4的右侧y随x的增大而增大，总存在y≥5的点，即存在覆盖特征点综合即可．【详解】解：（1）①根据覆盖的定义C点的纵坐标最大是3，B点的横坐标最大是3，即：且，所以，是覆盖的特征点②设点为的覆盖的特征点．依题意得：，当时，结合函数图像可知，在一次函数的图像上存在的覆盖的特征点，故符合题意．当时，如图，点为的覆盖的特征点．又∵点在一次函数的图像上，又∵点在一次函数的图像上，当直线过点时，即：解得：．∴结合函数图像可知．综上所述：．（2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则（4，5）为覆盖的特征点，当时，代入抛物线得，解得：，结合图像得，即存在覆盖特征点，当时，此时y=4是一直线，不存在符合条件点，当时，在直线x=4的右侧y随x的增大而增大，总存在y≥5的点，即存在覆盖特征点，综合得的范围是或．【点睛】本题考查新定义问题，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键