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第13讲一次函数

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学习目标

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1.理解一次函数的定义；

2.学会观察一次函数图像并分析，判断函数值随自变量的变化而变化；

3.掌握求一次函数解析式方法并解决简单的几何面积问题；

4.理解并体会一次函数与一元一次方程、不等式的关系；

||豳基础知识'：

---------------------IIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIII-----------------------

知识点1:一次函数的定义

如果y=kx+b（k,b是常数，k#0）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。

注意：当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx,正比例函数是一种特殊的一次函数。

知识点2：一次函数图像和性质

一次函数图象与性质用表格概括下：

k>0k<0

增减

性从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较

而增大少

b=0b<0b<0b=0b<0

b>0

图像*个y

*

（草千

图）干不

经过

、--?、一、三、四一、二、四二、四二、三、四

象限

与y轴

的交

b>0,交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b<0,交点在y轴负半轴上

点位

置

【提分要点】：

1.若y「kx+ba产o）与丫2=]<2*+"左产o）两直线平行，则k=kz；

2.若丫二卜产+久左产o）与y/kzX+b（左产°）两直线垂直，则krk7

知识点3：一次函数的平移

1、一次函数图像在X轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平

移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。

口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。

2、一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；

向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-mo

口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数）

知识点4：求一次函数解析式

用待定系数法求一次函数解析式的步骤：

基本步骤：设、歹U、解、写

⑴设：设一般式y=kx+b

⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组）

⑶解：解出k、b；

⑷写：写出一次函数式

知识点4：一次函数与一元一次方程的关系

直线y=kx+b（厚0）与%轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0（摩0）的解.求直

线y=kx+b（原0）与x轴交点时，

h

（1）可令y=0,得到方程kx+b=0（摩0）,解方程得_x=——___________,

k

（2）直线y=kx+b交x轴于点_（0,-匕）_______,就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐

k

标.

知识点5：一次函数与一元一次不等式

（1）由于任何一介'一■元一次不等式都可以转化为砒+匕>0或ov+Z?<0或或

0（。、匕为常数，。#0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ox+b的

值大于0（或小于。或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.

（2）如何确定两个不等式的大小关系

ax+b>cx+d（a#c,且理70）的解集='=以+》的函数值大于丁=6+1的函数值时的

自变量X取值范围o直线丁=以+"在直线产B+d的上方对应的点的横坐标范围.

考点剖析

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1III

考点一：一次函数的定义

1.（2022秋?九江期末）下列关于x的函数是一次函数的是（）

A.y=x2+lB.C.y=xD.y=x(x-1)

【典例1-2】（2022秋?拱墅区期末）函数y=（F-l）x+3是一次函数，则左的取值范围是（)

A.kWlB.2-1C.20D.匠士1

【变式1-1］（2022秋?任城区校级期末）下列函数中,一次函数是（）

A.y=A+2B.y=-2x

X

C.y=jr+2D.y=mx+n（m,"是常数）

【变式1-2］（2022秋?朝阳区校级期末）下列函数中,是一次函数的是（）

/A.y=--5-B.y=-5%+3C.y=f+3x-5D.y=V2x+4

【变式1-3］（2022春?江门校级期中）已知y=（加-2）冽理+4是一次函数，则机的值为（)

A.1B.2C.-2D.±2

考点二：判断一次函数图像所在象限

2.【典例2］（2022春?香坊区校级期中）一次函数y=2x+5的图象经过（）

A.第一、二、四象限B.第一、二、三象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

【变式2-1］（2022春?南关区校级期中）在平面直角坐标系中，直线y=2x-l经过（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

【变式2-2］（2022秋?修水县期中）一次函数y=-x+2的图象经过（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

【变式2-3］（2021秋?岱岳区期末）下列函数其图象经过第一、二、四象限的是（）

A.y=-2x+lB.y=3x+5C.y=-x-3D.y=4x-3

考点三：一次函数图像的性质

小2|例3.（2022秋?简阳市期末）对于函数y=-2x+3的图象，下列结论错误的是（）

A.图象必经过点（1,1）

B.图象经过第一、二、四象限

C.与x轴的交点为（0,3）

D.若两点A（1,yi）,B（3,丁2）在该函数图象上，则＞1＞第

【变式3-1］（2022秋?南海区期末）关于一次函数y=2x-3,下列说法正确的是（）

A.图象经过点（2,-1）

B.图象经过第二象限

C.图象与x轴交于点（-3,0）

D.函数值y随x的增大而增大

【变式3-2］（2022春?安乡县期末）对于直线y=1的描述正确的是（）

A.y随x的增大而增大B.与y轴的交点是（0,-1）

C.经过点（-2,-2）D.图象不经过第二象限

【变式3-3］（2022?南京模拟）关于一次函数y=-x+1的描述，下列说法正确的是（）

A.图象经过点（-2,1）

B.图象经过第一、二、三象限

C.y随x的增大而增大

D.图象与y轴的交点坐标是（0,1）

考点四：根据一次函数增减性求含参取值范围

例4.（2023?西安二模）若一次函数y=（a-2）x-6的图象中y值随x值的增大而增

大，则。的值可以是（）

A.4B.2C.-2D.-6

【变式4-1］（2022秋叶B江区期末）若一次函数丁=（m-2）x-2的函数值y随x的增大而

增大，则机的取值范围是（）

A.m<0B.m>0C.m<2D.m>2

【变式4-2］（2022秋?郸都区期末）已知正比例函数丁=（m-3）x,其中y的值随x的值增

大而减。蚧娜≈捣段牵)

A.m<3B.m>3C.m>0D.m<0

【变式4-3］（2022秋?慈溪市期末）一次函数丁=（3-左）x-左的图象经过第一、三、四象限,

则上的取值范围是（）

A.k>3B.0<k<3C.k<0D.k<3

考点五：根据k、b值判断一次函数图像的

5.（2022秋?市南区期末）一次函数尸质+。的图象如图所示，则一次函数尸-bx+k

【变式5-1］（2022秋?长兴县期末）已知幼<0且6<0,则一次函数丁=履+人的图象大致是

【变式5-2]（2022秋?江北区期末）在同一直角坐标系内作一次函数yi=ax+b和y2=-bx+a

【变式5-3]（2022秋?相山区校级期末）一次函数（m,〃是常数）与、2=〃冗+根在

考点六：比较一次函数值的大小

例6（2023?济南模拟）已知点A（xi,p）,B（⑶/）,C（X3,2）三点在直线y

=7%+14的图象上，且％1>13>必则yi,”，丁3的大小关系为（）

A.yi>y2>>3B.yi>y3>y2C.y2>yi>y3D.y3>y2>yi

【变式6-1]（2022秋?内丘县期末）若点（-2,p）、（3,”）都在函数丁=-x+b的图象

上，则yi与/的大小关系（)

A.yi>yiB.yi<y2C.yi=y2D.无法确定

【变式6-2]（2022秋?义乌市校级期末）若一次函数y=（m-3）%-4的图象经过点A（xi,

yi）和点3（X2,y2）,当％1>12时，、1>丁2,则用的取值范围是（）

A.m<3B.m>3C.mW3D.机23

考点七：一次函数的变换问题

例7.把函数y=3x+2的图象向下平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（）

A.y=3x+3B.y=3x-1C.y=3x+lD.y=3x+5

【变式7-1]（2021秋?阜阳月考）将一次函数y=-3x的图象沿y轴向下平移4个单位长度

后，所得图象的函数表达式为（）

A.y=-3（x-4）B.y=一3x+4C.y=-3（x+4）D.y=-3x-4

【变式7-2]（春?大冶市期末）将直线y=3^-l向上平移1个单位长度，得到的一次函数解

析式为（）

A.y=3xB.y=3x+lC.y=3田2D.y=3^+3

考点八：求一次函数解析式

例8.（2022秋?无锡期末）已知一次函数丁=履+4当x=-4时，y=0；当x=4时,

y=4.

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）求这个一次函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积.

【变式8-1]（2022秋?宿豫区期末）一次函数丁=履-2的图象经过点（1,-3）.

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）当x为何值时，y>0?

【变式8-2](2022秋?郑县期末)已知y-2与x成正比例，且当x=-2时，y=-4.

(1)写出y与x之间的函数关系式;

(2)当x=4时，求y的值；

(3)求函数图象与x轴的交点坐标.

【变式8-3](2022秋?张店区校级期末)如图，在平面直角坐标系中，直线/经过原点。和

点A(2,1),经过点A的另一条直线交x轴于点3(4,0).

(1)求直线/的函数解析式；

(2)求△A3。的面积；

(3)在直线/上求一点P,使S^AOB卷SAAP，求点。坐标?

考点九：一次函数与一元一次方程

9.(2022秋?碑林区校级期末)如图一次函数丁=日+2的图象分别交y轴,x轴于点A、

3,则方程丘+2=0的解为()

c.X=2V3D.jZl

A.x=0B.x=2x=

3

【变式9-1］（2023?平远县校级开学）一次函数交x轴于点（-5,0）,则关于x的

方程ax+b=0的解是（）

A.x=5B.x=-5C.x=0D.无法求解

【变式9-2］（2022春?西昌市校级月考）如图，已知直线丁=仆+0,则方程ax+0=-1的解x

等于（）

C.4D.1

【变式9-3］（2022春?西昌市校级月考）已知一次函数y=ax+0（a,人为常数），x与y的部

分对应值如下表:

X-2-10123

y6420-2-4

那么方程ax+Z?=0的解是（）

A.0B.1C.2D.-2

10.（2022秋?城关区校级期末）如图，直线y=2x与相交于点产(m,2),

()

C.x=2D.x=4

【变式10-11（2023?临渭区一模）已知直线y=-3x与y=kx+2相交于点P（m,3）,则关

于x的方程kx+2=-3x的解是（）

A.尤=-1B.x=lC.x=2D.x=3

【变式10-2]（2022秋?平桂区期中）已知方程2x-1=-3x+4的解是x=l,则直线y=2x

-1和y=-3x+4的交点坐标为（）

A.(1,0)B.(1,1)C.(-1,-3)D.(-1,1)

考点十：一次函数与一元一次不等式

11.（2023春?碑林区校级月考）如图，直线y=-2x+。与x轴交于点（3,0）,那么

不等式-2x+b<0的解集为（）

C.G3D.x>3

【变式11-1】（2022秋?竦州市期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数丁=依+。经过A,

3两点，若点3的坐标为（3,0）,则不等式ax+0>0的解集是（）

【变式11-2】（2022秋?黄浦区校级期末）已知一次函数丁=履+。（晨b为常数）的图象如图

所示，那么关于x的不等式依+。>0的解集是（）

A.x>0B.x<0C.x<2D.x>2.

【变式U-3]（2023?天桥区一模）若一次函数丁=依+。（k,6为常数，且左W0）的图象经过

点A（0,-1）,B（1,1）,则不等式依+。>1的解集为（）

A.x<1B.x>lC.x>0D.%<0

12.（2023?碑林区校级一模）如图，直线yi=x+6与>2=依-1相交于点P,若点P的

横坐标为-1,则关于x的不等式x+0>履-1的解集是（）

C.-1D.x<-1

【变式12-1】（2022秋?宁波期末）如图，直线=与直线-7?交于点P（1,M,

)

C.x>lD.x<l

【变式12-2]（2022春?二道区校级月考）如图，已知一次函数yi=kix+b与”=近%+岳交于

)

A.x>-1B.GTC.x<-1D.-1

【变式12-3】（2022春?顺德区校级月考）如图，已知一次函数刀=履1+加与一次函数y2=入2+岳

则不等式近1+历＜近2+。2的解集为（）

C.%<1D.%>1

真题演练

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1.（2023?陕西）在同一平面直角坐标系中，函数y="和y=x+a（a为常数，。＜0）的图象可能是（）

2.（2023?乐山）下列各点在函数y=2x-I图象上的是（)

A.(-1,3)B.(0,1)C.(1,-1)D.(2,3)

3.（2023?新疆）一次函数y=x+l的图象不经过（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.(2023?巴中)一次函数丫=（4-3）x+2的函数值y随x增大而减。騥的取值范围是（）

A.k>0B.k<0C.k>3D.k<3

5.（2023?台湾）坐标平面上，一次函数y=-2x-6的图象通过下列哪一个点（）

A.(-4,1)B.(-4,2)C.(-4,-1)D.(-4,-2)

6.（2022?六盘水）如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（)

A.y随x增大而增大B.图象经过第三象限

C.当xNO时，y^bD.当x<0时，y<0

7.（2022?兰州）若一次函数y=2x+l的图象经过点（-3,力），（4,”），则yi与竺的大小关系是（）

A.y\<yiB.yi>yiC.yiW”D.力》以

8.（2022?广安）在平面直角坐标系中，将函数y=3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解

析式是（）

A.y=3x+5B.y—3x-5C.y—3x+\D.y=3尤-1

9.（2022?辽宁）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=^ix+6i与>=近%+历的图象分别为直线八

和直线/2,下列结论正确的是（）

A.kjh10B.后+/2<0C.bi-b2<0D."?历<0

10.（2023?路桥区一模）如图，直线y=ax+6（aWO）与x轴交点的横坐标为1,贝!］关于尤的方程ax+6=0

的解为（）

A.1B.-1C.2D.-2

11.（2023?临渭区一模）已知直线y=-3%与>="+2相交于点尸（出3）,则关于X的方程Ax+2=-3x

的解是（）

A.x=-1B.x=lC.x=2D.x=3

12.（2023?浦桥区校级四模）如图，一次函数与y=x+2的图象相交于点P（机，4）,则关于x

的方程依+6=4的解是（）

C.x~3D.无=4

o丫+hn

13.（2023?祁东县校级模拟）如图,可以得出不等式组的解集是（）

cx+d>0

C.-1cx<4D.x>4

14.（2023?郴州）在一次函数y=1-2）x+3中，y随x的增大而增大，则上的值可以是（任写

一个符合条件的数即可）.

15.（2023?广西）函数y=fcc+3的图象经过点（2,5）,则左=.

16.（2023?苏州）已知一次函数y=fcc+b的图象经过点（1,3）和（-1,2）,则F-〃=.

17.（2023?天津）若直线y=x向上平移3个单位长度后经过点（2,m）,则根的值为.

18.（2022?陕西）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是尤的函数.下面表格中，是通过该“函

数求值机”得到的几组x与y的对应值.

输入X???-6-4-202

输出y???-6-22616

根据以上信息，解答下列问题：

（1）当输入的尤值为1时，输出的y值为

（2）求k,b的值；

（3）当输出的y值为。时，求输入的x值.

输.X

当*1时当时

输出F

19.（2022?陕西）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程

中，弹簧测力计的示数/拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示.

（1）求所在直线的函数表达式；

（2）当石块下降的高度为8c机时，求此刻该石块所受浮力的大小.

（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力=G重力；当石块入水后，/拉力=G重力一/浮力.）

i]1过关检?）

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1.（2023?沅江市校级模拟）已知函数y=-2%+b,当冗=1时，y=5,则b的值是（）

A.-7B.3C.7D.11

2.（2023春?普陀区期中）下列关于x的函数中，一次函数是（）

A.y=Vx-2B.v=~—C.y=/+2D.y=x+5

x+1

3.（2023?甘井子区模拟）水池中有水10L此后每小时漏水0.05L水池中的水量V（单位：L）随时间/

（单位：h）的变化而变化，当0W/W200时，V与/的函数解析式是（）

A.V=0.05tB.

C.V=-0.05什10D.V=-0.05?+10r

4.（2022秋?肃州区期末）已知一次函数y=fcv+b（女W0）图象过点（0,2）,且与两坐标轴围成的三角形

面积为2,则一次函数的解析式为（）

A.y=x+2B.y=-x+2

C.y=x+2或y=-x+2D.y=-x+2或y=x-2

5.（2023春?衡南县期中）对于一次函数y=-2%+4,下列结论错误的是（）

A.函数值随自变量的增大而减小

B.函数的图象不经过第三象限

C.函数的图象与x轴的交点坐标为（0,4）

D.函数的图象向下平移4个单位长度得到y=-2x的图象

6.（2023春?威远县校级期中）直线y=2x-3是由y=2x+5（）单位长度得到的.

A.向右平移8个B.向左平移8个

C.向下平移8个D.向上平移8个

7.（2023?皇姑区三模）一次函数y=-1+4的图象经过（）

A.第一二三象限B.第二三象限

C.第一二四象限D.第二三四象限

8.（2023春?海淀区校级月考）若点A（-1,yi），B（1,>2）都在直线y=-x+3上，则yi与以的大小

关系是（）

A.yi>j2B.y1=y2

C.yi<y2D.无法比较大小

9.（2023?金安区校级模拟）已知一次函数>=自+4经过（1,%）,（2,/），且》<以，它的图象可能

是（

x

A.B.

10.（2023?叶县模拟）如图，一次函数y得x+3的图象与X轴交于点A，与>轴交于点'下列说法错误

A.点A的坐标是（-2,0）B.△A08的面积是3

C.当x>0时，函数值y>3D.y随x的增大而减小

11.（2023?湖里区校级模拟）一次函数y=Z（x-2）+4的图象上y随x的增大而减。蛳铝械憧赡茉诤

数图象上的是（）

A.（3,-1）B.（2,5）C.（4,6）D.（5,6）

12.（2023?硕山县二模）在平面直角坐标系中，将一次函数y=2尤+b的图象向下平移4个单位长度后经过

点（2,3）,则b的值为（）

A.4B.3C.2D.-5

13.（2023?滕州市校级开学）关于尤的一元一次方程履+6=0的解是x=l,则直线>=区+6的图象与x轴

的交点坐标是（）

A.（1,0）B.（0,1）C.（0,0）D.（-1,0）

14.（2022秋?竞秀区期末）如图，直线>=2工与>=履+6相交于点尸（相，2）,则关于尤的方程依+6=2

的解是（）

C.x=2D.x—4

15.（2023?海珠区校级二模）已知一次函数y=ax+2的图象与x轴的交点坐标为（3,0），则一元一次方

程〃x+2=0的解为(

A.x=3B.x=0C.x=2D.x=(z

16.(2023?城中区模拟)一次函数(左，b为常数,且ZW0)的图象如图所示，根据图象信息可求

得关于x的方程kx+b=0的解为()

17.(2023?市南区校级二模)已知/z(cm)是时间，(min)的一次函数，小明发现下表中有一个/?的值是

(1)求aAOB的面积.

(2)求直线A3所对应的函数解析式.

20.(2022秋?城关区期末)已知点(工，1)在函数y=(3m-1)1的图象上,

2

(1)求的值，

(2)求这个函数的解析式.

21.(2023春?昌平区期中)如图，在平面直角坐标系中，长方形048c的两个顶点坐标为A(3,0),B

(3,2).

(1)求对角线AC所在直线对应的函数表达式；

(2)若点尸在x轴上，且S^cAP4s^COA'求点2的坐标?

o