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1、,6.3 数学归纳法,福鼎二中 陈思玲,解:,猜想数列的通项公式为,验证:同理得,正整数无数个!,（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？,（2）你的猜想一定是正确的吗？,问题情境一,问题情境二,多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示,1、第一块骨牌倒下,2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下,条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K+1块也倒下,请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件,这与我们要解决的问题有相似性吗？,多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题有相似性吗？,多米诺骨牌游戏原理,（1）当n=1时，猜想成立,根据（1）和（

2、2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。,通项公式为 的证明方法,上述事例启发我们：在证明一个与正整数有关的数学命题时，我们常采用下面两个步骤来证明它们的正确性：,（1）证明：当n=1时命题成立;,数学归纳法,（2）假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.,这种证明方法叫做 数学归纳法,由（1），（2）可得命题对所有正整数n都成立。,证明:,(1)当,猜想成立。,(2),那么,当,根据(1)和(2)，猜想对于任何 都成立。,例1、用数学归纳法证明：,证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立，就是 那么，当n=k +1时， 这就是说，

3、当n=k+1时，等式也成立。,因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何正整数n都成立。,例题讲解,证明： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立,（2）假设当 时，等式成立，就是,那么当n=k+1时,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,由（1）和（2），可知的等式对任何 都成立,练习 用数学归纳法证明:,那么，当n=k+1时,证明:(1)当n=1时,左边=20=1, 右边=21 1=1,等式成立,（2）假设n=k时，等式成立，即,即当n=k+1时等式也成立,根据(1)和(2),可知等式对任何 都成立.,错误原因：由证明n=k+1等式成立时没有用到n=k命题成立的归纳假设,例:欲用

4、数学归纳法证明 ，试问n的第一个取值 应是多少?,解：当n=1时，2n=2,n2=1, 2nn2 当n=2时，2n=4,n2=4, 2n=n2 当n=3时，2n=8,n2=9, 2nn2 当n=6时，2n=64,n2=36, 2nn2 对n=1、2、3，逐一尝试,可知初始值为n=5. 当n5时，2nn2(证明略),一、数学归纳法适用范围:,课堂小结,二、用数学归纳法证明命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值n0（ 例如n0 =1或2）结论正确； (2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确，证明当 n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。,数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。,递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉,三、两个注意： 1、“二步骤一结论”缺一不可。 2、第（2）步证明“假设n=k成立则n=k+1也成立”时一定 要用到归纳假设。,某些与正整数有关的数学命题.,作业布置：,1.要交的作业： P132 习题6 1、2、3,2.导与练： 做一做1、2、3,技能提升,