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1、第十章 排列、组合、 二项式定理和概率,排列、组合应用题,第 讲,2,（第三课时）,题型7 直接法解排列、组合综合应用题,1. 已知10件不同产品中共有4件次品，现对它们进行一一测试，直至找到所有次品为止. (1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品的不同测试方法数是多少? (2)若恰在第5次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少?,解：(1)先排前4次测试，只能取正品， 有 种不同测试方法，再从4件次品中选2 件排在第5和第10的位置上测试， 有 种测法，再排余下4件的测试 位置，有 种测法. 所以共有不同的测试 方法 =103680种. (2)第

2、5次测试恰找到最后一件次品，另3件 在前4次中出现，从而前4次有1件正品出现. 所以共有不同测试方法 =576种.,点评：解决排列组合综合问题，应遵循三大原则，掌握基本类型，突出转化思想.三大原则是：先特殊后一般、先取后排、先分类后分步的原则.基本类型主要包括：排列中的“在与不在”、组合中的“有与没有”，还有“相邻与不相邻”“至少与至多”“分配与分组”等.转化思想就是把一些排列组合问题与基本类型相联系，从而把问题转化为基本类型，然后加以解决.,从6名短跑运动员中选4人参加4100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法? 解：问题分成三类：(1)甲、乙两人均不参加

3、，有 种； (2)甲、乙两人有且仅有一人参加， 有 种；,(3)甲、乙两人均参加，其中甲跑 第四棒有 种，甲跑第二棒或 第三棒有 种， 由分类计数原理，共 =252种.,3.6项不同的工程，分别给甲、乙、丙三个公司. (1)如果甲承包一项、乙承包二项、丙承包三项，有多少种承包方式? (2)如果一个公司承包一项，另一个公司承包两项，剩下的一个公司承包三项，有多少种承包方式? (3)如果每个公司均承包两项，有多少种承包方式?,题型8 排列、组合中的分组问题,解：(1)从6项工程中选一项给甲有 种， 从余下的5项中选两项给乙有 种， 最后的3项给丙有 种，由分步计数原理 共有 =60种. (2)将6

4、项工程依条件分为三组共有 种，而将三组分给甲、乙、丙三公司有 种，故有 =360种. (3)解法1： =90种. 解法2： =90种.,点评：对分组或分配问题，先分清是“有序”还是“无序”，然后分清是“均匀”还是“不均匀”分组.如本题中第(1)问就是“有序不均匀”分组问题，第(2)问是“无序不均匀”分组；第(3)问是“无序均匀”分组.注意它们的区别与联系，掌握正确的处理方法.,6名运动员分到4所学校去做教练，每校至少1人，有多少种不同的分配方法? 解法1：先取人，后取学校. 1，1，1，3：6人中先取3人有 种取法，与剩余3人分到4所学校去有 种不同分法，所以共有 种分法；,1，1，2，2：6

5、人中取2人、2人、1人、 1人的取法有 种，然后分到4所 学校去，有 种不同的分法， 共 种分法. 所以符合条件的分配方法有 =1560种. 解法2：先取学校，后取人. 1，1，1，3：取一个位子放3个人，有,种取法，6人中分别取3人、1人、1人、1 人的取法有 种， 所以共有 种； 1，1，2，2：先取2个位子放2人(其余2个 位子放1人)有 种取法，6人中分别取2 人，2人，1人，1人的取法有 种， 共有 种. 所以符合条件的分配方法有 =1560种.,1. (1)编号为1，2，3，4，5的五个人分别坐在编号为1，2，3，4，5的五个座位上，求至多有两个人的编号与座位号一致的坐法种数. (

6、2)设集合A=3，4，5，6，7，B=4，5，6，7，8，从A、B中各取一个数作为点的坐标，求一共可得到多少个不同的坐标?,题型 间接法解排列、组合综合应用题,解：(1)有且只有三个人的编号与座位号一致的坐法有 种，有且只有五个人的编号与座位号一致的坐法有1种. 因为五个人任意坐在五个位置上的坐法有 种，所以符合要求的坐法共有 =109(种).,(2)从A、B中各取一个数作为点的坐标，有 个. 其中A、B中所取元素相同时，重复4个；从A、B中所取元素是4、5、6、7中的两个数时，重复 个. 所以共有 =34(个).,2.四个不同的小球放入四个不同的盒子里，求在下列条件下各有多少种不同的放法?

7、(1)恰有一个盒子里放2个球； (2)恰有两个盒子不放球. 解：(1)分两步：首先将四个小球按2，1，1的个数分成三组，有 种分法；再将三组球放入四个盒子中的三个，有 放法. 由分步计数原理，共有 =144(种).,(2)分两类：将四个小球按3，1的个数分成两组，再将这两组球放入四个盒子中的两个，有 种放法；将四个小球平均分成两组，再将这两组球放入四个盒子中的两个，有 种放法. 由分类计数原理，共有 =84(种).,1.求解排列、组合应用题的一般步骤是：弄清事件的特性，把具体问题化归为排列问题或组合问题，其中“有序”是排列问题，“无序”是组合问题；通过分析，对事件进行合理的分类、分步，或考虑问

8、题的反面情况；分析上述解法中有没有重复和遗漏现象，若有，则计算出重复数和遗漏数；列出算式并计算作答.,2.解排列、组合应用题的基本方法是：直接法：直接列出符合条件的所有排列或组合，再求出排列数或组合数；间接法：不考虑限制条件计算出排列数或组合数，再减去不符合条件的排列数或组合数，余下的就是满足条件的方法数；分类法：选定一个适当的标准，将事件分成n个类型，分别计算出各类型的方法数，再由分类计数原理得出结论；分步法：选定一个适当的标准，将事件分成n个步骤来完成，分别计算出各步骤的方法数，再由分步计数原理得出结论.,3.解排列、组合应用题时要注意以下几方面的技巧和策略：受限元素优先；受限位置优先；相邻元素用“捆绑”并为一个元素；不相邻元素用“插空”；对“含有”或“不含有”某些元素的问题，可先将这些元素取出，再由其他元素补足；对“至少”或“至多”含有n个元素的问题，可用分类或间接方法求解；对排列、组合的混合问题，应先组后排，分步进行；对较复杂的问题可通过分级分类求解；把元素分成若干组常用“隔板插空”等等.,