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2023年浙江省台州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________
一、单选题(20题)1.A.f(2x)
B.2f(x)
C.f(-2x)
D.-2f(x)
2.当x→0时,3x2+2x3是3x2的()。A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小但不是等价无穷小D.等价无穷小
3.
4.A.2B.-2C.-1D.1
5.设函数f(x)=sinx,则不定积分∫f'(x)dx=A.A.sinx+CB.cosx+CC.-sinx+CD.-cosx+C
6.
A.0
B.
C.1
D.
7.
8.级数(k为非零正常数)().A.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关
9.
10.
A.0
B.cos2-cos1
C.sin1-sin2
D.sin2-sin1
11.A.
B.
C.
D.
12.方程2x2-y2=1表示的二次曲面是()。A.球面B.柱面C.旋转抛物面D.圆锥面
13.
14.
15.
16.设f(x)在点x0处取得极值,则()
A.f"(x0)不存在或f"(x0)=0
B.f"(x0)必定不存在
C.f"(x0)必定存在且f"(x0)=0
D.f"(x0)必定存在,不一定为零
17.A.A.
B.
C.
D.
18.下列关系正确的是()。A.
B.
C.
D.
19.A.
B.0
C.
D.
20.
二、填空题(20题)21.
22.
23.设x2为f(x)的一个原函数,则f(x)=_____
24.
25.
26.
27.设函数y=x3,则y'=________.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.设z=ln(x2+y),则全微分dz=__________。
35.
36.
37.
38.
39.y=x3-27x+2在[1,2]上的最大值为______.
40.
三、计算题(20题)41.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
42.求曲线在点(1,3)处的切线方程.
43.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
44.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
45.
46.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
47.求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
48.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
49.求微分方程的通解.
50.
51.
52.
53.
54.证明:
55.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量,则
56.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
57.
58.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
59.
60.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
四、解答题(10题)61.设z=x2ey,求dz。
62.
63.
64.
65.求y"+2y'+y=2ex的通解.
66.
67.
68.
69.
70.
五、高等数学(0题)71.
=_______.
六、解答题(0题)72.证明:ex>1+x(x>0)
参考答案
1.A由可变上限积分求导公式可知因此选A.
2.D本题考查的知识点为无穷小阶的比较。
由于,可知点x→0时3x2+2x3与3x2为等价无穷。视ρ。
3.C解析:
4.A
5.A由不定积分性质∫f'(x)dx=f(x)+C,可知选A。
6.A
7.C
8.A本题考查的知识点为无穷级数的收敛性.
由于收敛,可知所给级数绝对收敛.
9.B
10.A由于定积分
存在,它表示一个确定的数值,其导数为零,因此选A.
11.D本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法。因此选D。
12.B
13.A
14.B
15.D
16.A若点x0为f(x)的极值点,可能为两种情形之一:(1)若f(x)在点x0处可导,由极值的必要条件可知f"(x0)=0;(2)如f(x)=|x|在点x=0处取得极小值,但f(x)=|x|在点x=0处不可导,这表明在极值点处,函数可能不可导。故选A。
17.B
18.C本题考查的知识点为不定积分的性质。
19.A
20.C解析:
21.eyey
解析:
22.
解析:
23.由原函数的概念可知
24.1/z本题考查了二元函数的二阶偏导数的知识点。
25.(-∞2)
26.本题考查的知识点为重要极限公式.
27.3x2本题考查了函数的导数的知识点。因为y=x3,所以y'=3x2
28.-5-5解析:
29.本题考查的知识点为用洛必达法则求未定型极限.
30.y=2x+1
31.1/6
本题考查的知识点为计算二重积分.
32.22解析:
33.y=-e-x+C
34.
35.1
36.
本题考查的知识点为定积分运算.
37.
38.
本题考查的知识点为二元函数的偏导数.
39.-24本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值.
若f(x)在(a,b)内可导,在[a,b]上连续,常可以利用导数判定f(x)在[a,b]上的最值:
(1)求出f'(x).
(2)求出f(x)在(a,b)内的驻点x1,…,xk.
(3)比较f(x1),f(x2),…,f(xk),f(a),f(b).其中最大(小)值为f(x)在[a,b]上的最大(小)值,相应的点x为f(x)的最大(小)值点.
y=x3-27x+2,
则y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),
令y'=0得y的驻点x1=-3,x2=3,可知这两个驻点都不在(1,2)内.
由于f(1)=-24,f(2)=-44,可知y=x3-27x+2在[1,2]上的最大值为-24.
本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3,x2=3之后,直接比较
f(-3)=56,f(3)=-52,f(1)=-24,f(2)=-44,
得出y=x3-27x+2在[1,2]上的最大值为f(-3)=56.其错误的原因是没有判定驻点x1=-3,x2=3是否在给定的区间(1,2)内,这是值得考生注意的问题.在模拟试题中两次出现这类问题,目的就是希望能引起考生的重视.
本题还可以采用下列解法:注意到y'=3(x-3)(x+3),在区间[1,2]上有y'<0,因此y为单调减少函数。可知
x=2为y的最小值点,最小值为y|x=2=-44.
x=1为y的最大值点,最大值为y|x=1=-24.
40.
41.
42.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
43.由二重积分物理意义知
44.
45.由一阶线性微分方程通解公式有
46.
列表:
说明
47.
48.
49.
50.
51.
52.
则
53.
54.
55.由等价无穷小量的定义可知
56.需求规律为Q=100ep-2.25p
∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p,
∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
57.
58.函数的定义域为
注意
59.
60.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
61.
62.
63.
64.
65.相应微分方程的齐次微分方程为y"+2y'+y=0.其特征方程为r2+2r+1=0;特征根为r=-1(二重实根);齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-x
相应微分方程的齐次微分方程为y"+2y'+y=0.其特征方程为r2+2r+1=0;特征根为r=-1(二重实根);齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-x,
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
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