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2023年浙江省台州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.A.f(2x)

B.2f(x)

C.f(-2x)

D.-2f(x)

2.当x→0时,3x2+2x3是3x2的()。A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小但不是等价无穷小D.等价无穷小

3.

4.A.2B.-2C.-1D.1

5.设函数f(x)=sinx,则不定积分∫f'(x)dx=A.A.sinx+CB.cosx+CC.-sinx+CD.-cosx+C

6.

A.0

B.

C.1

D.

7.

8.级数(k为非零正常数)().A.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关

9.

10.

A.0

B.cos2-cos1

C.sin1-sin2

D.sin2-sin1

11.A.

B.

C.

D.

12.方程2x2-y2=1表示的二次曲面是()。A.球面B.柱面C.旋转抛物面D.圆锥面

13.

14.

15.

16.设f(x)在点x0处取得极值,则()

A.f"(x0)不存在或f"(x0)=0

B.f"(x0)必定不存在

C.f"(x0)必定存在且f"(x0)=0

D.f"(x0)必定存在,不一定为零

17.A.A.

B.

C.

D.

18.下列关系正确的是()。A.

B.

C.

D.

19.A.

B.0

C.

D.

20.

二、填空题(20题)21.

22.

23.设x2为f(x)的一个原函数,则f(x)=_____

24.

25.

26.

27.设函数y=x3,则y'=________.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.设z=ln(x2+y),则全微分dz=__________。

35.

36.

37.

38.

39.y=x3-27x+2在[1,2]上的最大值为______.

40.

三、计算题(20题)41.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.

42.求曲线在点(1,3)处的切线方程.

43.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度

u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.

44.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.

45.

46.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.

47.求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.

48.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为

S(x).

(1)写出S(x)的表达式;

(2)求S(x)的最大值.

49.求微分方程的通解.

50.

51.

52.

53.

54.证明:

55.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量,则

56.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?

57.

58.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.

59.

60.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.

四、解答题(10题)61.设z=x2ey,求dz。

62.

63.

64.

65.求y"+2y'+y=2ex的通解.

66.

67.

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.

=_______.

六、解答题(0题)72.证明:ex>1+x(x>0)

参考答案

1.A由可变上限积分求导公式可知因此选A.

2.D本题考查的知识点为无穷小阶的比较。

由于,可知点x→0时3x2+2x3与3x2为等价无穷。视ρ。

3.C解析:

4.A

5.A由不定积分性质∫f'(x)dx=f(x)+C,可知选A。

6.A

7.C

8.A本题考查的知识点为无穷级数的收敛性.

由于收敛,可知所给级数绝对收敛.

9.B

10.A由于定积分

存在,它表示一个确定的数值,其导数为零,因此选A.

11.D本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法。因此选D。

12.B

13.A

14.B

15.D

16.A若点x0为f(x)的极值点,可能为两种情形之一:(1)若f(x)在点x0处可导,由极值的必要条件可知f"(x0)=0;(2)如f(x)=|x|在点x=0处取得极小值,但f(x)=|x|在点x=0处不可导,这表明在极值点处,函数可能不可导。故选A。

17.B

18.C本题考查的知识点为不定积分的性质。

19.A

20.C解析:

21.eyey

解析:

22.

解析:

23.由原函数的概念可知

24.1/z本题考查了二元函数的二阶偏导数的知识点。

25.(-∞2)

26.本题考查的知识点为重要极限公式.

27.3x2本题考查了函数的导数的知识点。因为y=x3,所以y'=3x2

28.-5-5解析:

29.本题考查的知识点为用洛必达法则求未定型极限.

30.y=2x+1

31.1/6

本题考查的知识点为计算二重积分.

32.22解析:

33.y=-e-x+C

34.

35.1

36.

本题考查的知识点为定积分运算.

37.

38.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数.

39.-24本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值.

若f(x)在(a,b)内可导,在[a,b]上连续,常可以利用导数判定f(x)在[a,b]上的最值:

(1)求出f'(x).

(2)求出f(x)在(a,b)内的驻点x1,…,xk.

(3)比较f(x1),f(x2),…,f(xk),f(a),f(b).其中最大(小)值为f(x)在[a,b]上的最大(小)值,相应的点x为f(x)的最大(小)值点.

y=x3-27x+2,

则y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的驻点x1=-3,x2=3,可知这两个驻点都不在(1,2)内.

由于f(1)=-24,f(2)=-44,可知y=x3-27x+2在[1,2]上的最大值为-24.

本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3,x2=3之后,直接比较

f(-3)=56,f(3)=-52,f(1)=-24,f(2)=-44,

得出y=x3-27x+2在[1,2]上的最大值为f(-3)=56.其错误的原因是没有判定驻点x1=-3,x2=3是否在给定的区间(1,2)内,这是值得考生注意的问题.在模拟试题中两次出现这类问题,目的就是希望能引起考生的重视.

本题还可以采用下列解法:注意到y'=3(x-3)(x+3),在区间[1,2]上有y'<0,因此y为单调减少函数。可知

x=2为y的最小值点,最小值为y|x=2=-44.

x=1为y的最大值点,最大值为y|x=1=-24.

40.

41.

42.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点

(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为

43.由二重积分物理意义知

44.

45.由一阶线性微分方程通解公式有

46.

列表:

说明

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.由等价无穷小量的定义可知

56.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%

57.

58.函数的定义域为

注意

59.

60.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,

61.

62.

63.

64.

65.相应微分方程的齐次微分方程为y"+2y'+y=0.其特征方程为r2+2r+1=0;特征根为r=-1(二重实根);齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-x

相应微分方程的齐次微分方程为y"+2y'+y=0.其特征方程为r2+2r+1=0;特征根为r=-1(二重实根);齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-x,

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

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