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2022-2023学年山东省烟台市莱阳城厢街道办事处西关中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.一个多面体的三视图如图所示,则此多面体外接球的表面积是

A.

B.C.

D.参考答案:C略2.已知抛物线y2=8x的焦点F与双曲线的一个焦点相同,且F到双曲线的右顶点的距离等于1,则双曲线的离心率是

A.

B.

C.2

D.3参考答案:C3.设集合A.[1,2] B.(-1,3) C.{1} D.{l,2}参考答案:D,所以,故选D4.已知x0是函数f(x)=+lnx的一个零点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则

()A.f(x1)<0,f(x2)<0

B.f(x1)>0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0

D.f(x1)<0,f(x2)>0参考答案:D略5.点、、、在半径为的同一球面上,点到平面的距离为,,则点与中心的距离为(

A.

B.

C.

D.参考答案:B【知识点】点线面的位置关系因为设中心为D,计算可得,

设S在平面射影为H,则可得,可求得为所求。

所以,

故答案为:B6.函数的图像可能是

(

) A

B

C

D参考答案:A略7.已知m,n是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,则下列命题正确的是A.若,,则 B.若,,则 C.若,,且,,则 D.若,,且,则参考答案:D解:由,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,知:在中,若,,则与相交、平行或异面,故错误;在中,若,,则与相交或平行,故错误;在中,若,,且,,则与相交或平行,故错误;在中,若,,且,则线面垂直、面面垂直的性质定理得,故正确.故。海8.设集合,为自然数集,则中元素的个数为(

)A.3 B.4 C.5 D.6参考答案:C

考点:集合的运算.9.设满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的图象向右平移后的表达式为A. B.C.

D.参考答案:C10.将函数(其中)的图像向右平移个单位长度,所得图像经过点,则的最小值是(

)A. B.1 C. D.2参考答案:D函数图像向右平移个单位得到函数,因为此时函数过点,所以,即,所以,,,所以的最小值为,故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在正三棱锥P-ABC中,M,N分别是PB,PC的中点,若截面AMN⊥平面PBC,则此棱锥中侧面积与底面积的比为___________。参考答案::1

12.在极坐标系中,过点作圆的切线,则切线的极坐标方程是

。参考答案:ρcosθ=213.命题“”的否定为

参考答案:,略14.

已知等差数列的前项和为,若,且,则=______________参考答案:答案:1015.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,右焦点到右顶点的距离为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)是否存在与椭圆交于两点的直线:,使得成立?若存在,求出实数的取值范围,若不存在,请说明理由.参考答案:Ⅰ)设椭圆的方程为,半焦距为.依题意,由右焦点到右顶点的距离为,得.解得,.所以.

所以椭圆的标准方程是.………4分(Ⅱ)解:存在直线,使得成立.理由如下:由得.,化简得.设,则,.若成立,即,等价于.所以.,,,化简得,.将代入中,,解得,.又由,,从而,或.所以实数的取值范围是.

……………12分略16.若函数y=f(x)对定义域的每一个值x1,在其定义域内都存在唯一的x2,使f(x1)f(x2)=1成立,则称该函数为“依赖函数”.给出以下命题:①y=是“依赖函数”;②y=是“依赖函数”;③y=2x是“依赖函数”;④y=lnx是“依赖函数”;⑤y=f(x),y=g(x)都是“依赖函数”,且定义域相同,则y=f(x).g(x)是“依赖函数”.其中所有真命题的序号是.参考答案:②③【考点】命题的真假判断与应用.【分析】理解“依赖函数”的定义,注意关键词:①定义域的每一个值x1,②都存在唯一的x2,③f(x1)f(x2)=1.逐一验证5个结论,可得答案.【解答】解:在①中,若x1=2,则.此时f(x1)f(x2)=1可得f(x2)=4,x2=±2,不唯一,所以命题①错误.在②③中,两个函数都是单调的,且函数值中没有零,每取一个x1,方程f(x1)f(x2)=1都有唯一的x2值,所以都是真命题.在④中,y=lnx当x1=1时,f(x1)=0此时f(x1)f(x2)=1无解,所以是假命题.在⑤中,如果f(x)g(x)=1,则任意x1,都对应无数个x2,所以命题⑤也是假命题.故答案为:②③.【点评】本题是给出定义,直接应用的新题,要抓住关键词,是解答此类问题的关键.17.已知,,则

.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=a|x﹣1|﹣|x+1|.其中a>1(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)≥3的解集;(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象与直线y=1围成三角形的面积为,求实数a的值.参考答案:【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.【分析】(Ⅰ)求出函数f(x)的分段函数的形式,得到关于x的不等式组,解出即可;(Ⅱ)由f(x)=1,求出交点的横坐标,求出三角形的底,根据三角形的面积求出a的值即可.【解答】解:(Ⅰ)由条件f(x)=,a=2时,f(x)≥3?或或?x<﹣1或﹣1≤x≤﹣或x≥6,故不等式f(x)≥3的解集是(﹣∞,﹣]∪[6,+∞);(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=1?x1=,x2=,三角形的面积S=?(﹣)?3==,解得:a=3(舍),故所求a的值是3.19.某学校高一、高二、高三三个kok电子竞技共有300名教师,为调查他们的备课时间情况,通过分层抽样获得了20名教师一周的备课时间,数据如下表(单位:小时);高一kok电子竞技77.588.59

高二kok电子竞技78910111213

高三kok电子竞技66.578.51113.51718.5(Ⅰ)试估计该校高三kok电子竞技的教师人数;(Ⅱ)从高一kok电子竞技和高二kok电子竞技抽出的教师中,各随机选取一人,高一kok电子竞技选出的人记为甲,高二kok电子竞技班选出的人记为乙,求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率;(Ⅲ)再从高一、高二、高三三个kok电子竞技中各随机抽取一名教师,他们该周的备课时间分别是8,9,10(单位:小时),这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为,表格中的数据平均数记为,试判断与的大。ń崧鄄灰笾っ鳎┎慰即鸢:【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布表.【分析】(Ⅰ)抽出的20位教师中,来自高三kok电子竞技的有8名,根据分层抽样方法,能求出高三kok电子竞技的教师共有多少人.(Ⅱ)从高一、高二kok电子竞技分别抽取一人,共有35种基本结果,利用列举法求出该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的基本结果种数,由此能求出该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率.(Ⅲ)利用平均数定义能判断与的大。窘獯稹拷:(Ⅰ)抽出的20位教师中,来自高三kok电子竞技的有8名,根据分层抽样方法,高三kok电子竞技的教师共有300×=120(人).(Ⅱ)从高一、高二kok电子竞技分别抽取一人,共有35种基本结果,其中甲该周备课时间比乙长的结果有:(7.5,7),(8,7),(8.5,7),(8.5,8),(9,7),(9,8),共6种,故该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的基本结果有35﹣6=29种,∴该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率p=.(Ⅲ).20.(本题满分13分)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的。如果甲船停泊的时间是1h,乙船停泊时间为2h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.参考答案:

21.(14分)如图3所示,在四面体中,已知,.是线段上一点,,点在线段上,且.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求二面角的大。慰即鸢:

解析:(Ⅰ)证明:在中,∵

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形,同理可证,△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形,△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形.在中,∵

又∵

∴(II)解法一:由(I)知PB⊥CE,PA⊥平面ABC∴AB是PB在平面ABC上的射影,故AB⊥CE∴CE⊥平面PAB,而EF平面PAB,∴EF⊥EC,故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角,∵∴,∴二面角B—CE—F的大小为.解法二:如图,以C点的原点,CB、CA为x、y轴,建立空间直角坐标系C-xyz,则,,,,∵为平面ABC的法向量,为平面ABC的法向量,∴,∴二面角B—CE—F的大小为.22.已知函数f(x)=﹣alnx+(a+1)x﹣x2(a>0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥﹣x2+ax+b恒成立,求实数ab的最大值.参考答案:【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出f(x)的导数,通过a=1,0<a<1,a>1的讨论,从而求出函数的单调区间;(2)由题意可得alnx﹣x+b≤0恒成立,令g(x)=alnx﹣x+b,求出导数,确定函数的单调性,可得函数的最值,即可得到结论.【解答】解:(1)f′(x)=﹣+a+1﹣x=﹣,(a>0,x>0),①a=1时,f′(x)=﹣≤0,∴f(x)在(0,+∞)递减;②0<a<1时,由f′(x)>0,解得:a<x<1,∴f(x)在(a,1)递增,在(0,a),(1,+∞)递减;③a>1时,同理f(x)在(1,a)递增,在(0,1),(a,+∞)递减;(2)∵f(x)≥﹣x2+ax+b恒成立,∴alnx﹣x+b≤0恒成立,令g(x)=alnx﹣x+b,则g′(x)=,∴g(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减.∴g(x)max=g(a)=alna﹣a+b≤0,∴b≤a﹣alna,∴ab≤a2﹣a2lna,令h(x)=x2﹣x2lnx(x>0),则h′(x)=x(1﹣2lnx)∴h(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,∴h(x)max=h()=e﹣eln=,∴ab≤.即ab的最大值为.

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