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数学证明与数学真理的客观性

关于“数学证明是客观的”的讨论最终导致了相反的观点。首先，维特根斯坦和其他代表反对数学满语理论和数学实践，拒绝将数学证明视为客观的，并否认规则的强制性。其次，以数学为巴比特主义的代表，他们接受了数学和数学真理的客观角度，并为数学对象提供了独立于人们理解的客观方面的建议。当然，维特根斯坦反对数学柏拉图主义，反对数学实在论，这是大多数理解者所认可的理论图景。但长久以来，人们误将维特根斯坦看作是一位数学建构主义者，或一位严格有限论者。一、数学证明的客观关于数学证明和数学真理的论断主要有两条基本原则，其具体观点如下所述：(1)数学证明的客观部分特定符号结构(sign-configuration)是否具有一种独立认可的证明。(2)数学哲学观的比较一种特定的数学命题是否具有一种独立认可的真。事实上，不同的数学哲学流派对于上述两条原则是持开放态度的。数学柏拉图主义者同时赞同上述两条原则。因此，如果人们要反驳数学柏拉图主义的话，那么只要反驳上述两条原则之一，就可以否证其基本立场了。也就是说，我们可以通过反驳原则(1)或者反驳原则(2)，或者同时反驳原则(1)和(2)来拒斥数学柏拉图主义的观点。而温和派的数学建构主义者否认原则(2)，他们不赞同数学真理的客观性而保留了数学证明的客观性。维特根斯坦则采取了一种比较极端的立。狈袢狭嗽(1)和(2)。通过比较原则(1)和(2)的不同立。颐强梢郧宄地分辨出维特根斯坦的数学哲学观与其他数学哲学观之间的区别。事实上，达米特在解读维特根斯坦数学哲学观时，明确将其“拒绝数学证明的客观性”与“拒绝逻辑强制性”概念联结在一起考察。维特根斯坦在其后期的主要著作如《哲学研究》(PI)和《论数学的基础》(RFM)中，都对“数学证明客观性”这一议题进行了直接讨论，他在《论数学的基础》中用了大量的篇幅来反驳数学证明的客观性与强制性。维特根斯坦认为，当反思强制性概念时，它与我们并没有任何相关的联结。如何知道数学证明的强制性让我们得出这样的结果呢?好吧，事实上一旦我们已经以这样或那样的方法来获得这种结果时，就会拒绝任何其他的方法。我进一步想说的是，对于那些不想以这种方法得出得数的人来说，作为最后反对这些论证的人将会说：“为什么?难道你没有看到吗…!”——这没有论证。维特根斯坦强调，规则本身并不会强迫我们接受某些事物，也不会强制性地让我们把特定的证明规则当成正确无疑的，原则上，对于相同事物我们可以采用不同的证明规则。试想有一位数学老师在黑板上写出了一串数字：“1，4，9，16……”，那么接下来该写什么呢?学生张三回答25，他所运用的计算方法或规则是自然数的平方，即“1维特根斯坦认为，计算规则并不会强迫我们接受任何特定的推理过程或应用过程，人类共同的行为才是我们解释语言与规则的参照系。“这个人以这种方式做出反应，而另一个人则以不同的方式做出反应，情况会怎么样呢?在这种情况下究竟谁做对了呢?遵循规则类似于服从命令。人们是被训练这样做的；人们是以特定的方式对命令做出反应的。人类共同的行为方式乃是我们所以解释陌生语言的参考系。”二、．“规则的强制性”。传统知识认为，接下来将以“300+300=600”为例进行事例说明。假设“300+300”是我们从未遇到过、也从未计算过的特定算术式子，但因为我们之前已经理解和掌握了加法规则，由此我们就不必再大费周章地思量要如何计算这种特定的算术式子，或者考虑什么样的得数才是正确的。也就是说，我们可以通过之前的方法或规则来计算“300+300”，然后得出“600”的和数。在这一计算过程中，似乎有某种强制性概念让我们必须得出“600”的得数，而非其他数，因此，在计算时人们也似乎必然要依据某种标准或规则来行事。由此，我们可能会反思为何“600”就是正确的得数，而其他数就不是了呢?现在我们是否可以说，已经正确地计算了“300+300”这一算式了呢?如果答案是肯定的话，那么人们是基于什么原则来确定“600”就是正确的得数呢?在原则上，我们可以使用不同的计算方法和计算规则，但是在实际计算过程中我们只能必然地接受某种计算方式，从而得出正确的结果。这种所谓“必然性”可以归结为某种强制性。正如“证明向我们表明，我们应该得出什么样的得数。——并且因为这种证明的重复出现必须说明相同的事物，一方面证明必须自发地再现相同的结果，而另一方面它也必须再现得出这种数学结果的强制性。”为什么算术法则是必然的，甚至比自然法则更加必然呢?维特根斯坦认为，算术法规或逻辑法则与日常经验事实是相对应的，日常经验事实使得我们可以以一种简单的方式来说明一些法则的强制性。维特根斯坦并不赞同所谓“规则的强制性”概念，他首先对规则本身的有效性提出了质疑。他认为算术规则的问题在于，规则本身会陷入规范性无限倒退的问题，因为规则的有效性也需要证明，规则必然要由其他规则所规范，另外的规则又会有进一步的规则来规范。“无论你给我提供了多少规则——我都将给你提供这样一条规则，它辩护了我对你的规则所做的那种运用。”你所说的话似乎会得出这样的结论：逻辑属于人类的自然史，这与逻辑的“必定”的坚定性是不一致的。可是逻辑“必定”不是逻辑命题的一个组成部分，而是人类自然史的命题。逻辑命题说的是人们以这种或那种方式取得一致认识，而此时它的对立面却说：这里缺乏一致认识，不，这是另一种一致认识。维特根斯坦强调，数学证明的强制性只是把一种特定的符号结构看成一种逻辑证明形式，或者接受一种特定的命题是另一种命题的逻辑推理结果。“我应该说我不需要在每一步都有直觉，而是需要决定。”传统上，数学柏拉图主义者认为数学对象是一些独立存在的实体，虽然人们能够不断发现新的数学对象，但不能随意发明它们。但是维特根斯坦所主张的“决定”概念似乎破坏了这一论点。事实上，维特根斯坦这里所主张的“决定”概念并不是指说话者深思熟虑后的意识，而是通过“决定”这一概念能在数学对象之间创造一些必要的联结，并且该联结要服从于某种生物本性，而非服从于某种规则的强制性。因为“机械式的程序是通过规则在事例中的正确应用建立起来的，其过程包括人的意向作用，但不是人的智力。人的意向是不受逻辑强制性干扰的。”“但是，我因此在一串推理中并非是被强制着像我现在所做的那样进行下去吗?”——被强制着?我当然完全可以如我所愿地那样进行下去!——“不过，如果你仍然想与这些规则保持一致，那么你必须这样进行下去。”——完全不是这样的；我将这个称为“一致”。——“于是，你改变了‘一致’这个词意义，或者改变了这条规则的意义。”——不是；——在此，由谁来说出“改变”意味着什么，“保持不变”意味着什么?在上述引文中，维特根斯坦所强调的一致性，并不是人们意见的一致性，而是训练过程和生活形式的一致性。也就是说，在日常的计算训练中，人们运用了各种方式，如口头的表扬和批评，以及行为动作等来训练学生什么样的行为是在正确地遵守规则，以及什么样的行为没有在遵守规则。如当老师说“你很棒，做对了”时，那么学生可以前进；当老师说“你做错了”时，那么学生可能就要后退。对此，维特根斯坦在《论数学的基础》中描述道：如果学生掌握了“一致”这个概念后就可以这么做。可是如果学生没有掌握这个概念，或这个概念尚未形成又会怎样呢?在这种情况下，就要依据这个学生如何对“一致”这个词作出反应。如果该学生以正确的方式对规则作出了反应，那么这个学生业已掌握了以如此方式来解释规则。然而重要的是，从我们已经对规则有些理解从而作出理解了证明的那些反应，是以一定的环境、一定的生活形式和语言形式作为环境前提的。事实上，维特根斯坦主张的“一致”与“规则”是两个相互关联的概念，当我们学会使用其中一个词时，那么也就学会了如何使用另外一个词。此外，“规则”与“相同”在使用中也是互相交织的。正如同人们在日常生活中会将生活形式的一致性作为认知的前提条件，但是这种一致性并非逻辑上的一致性。“如果真只是来自人们的赞同而不是其他人的认同，这不会得出任何的理解——我们是在做计算吗?所以这不是证明认可本身使得计算成为计算，而只是承认一致性。承认一致性是承认我们语言游戏的一致性，而不是确认它。”综上所述，如果我们以一种宽容的方式来解读维特根斯坦的观点，那么维特根斯坦只是在提醒我们，这里没有数学证明的强制性，数学证明只是一种日常的实践活动，像所有其他实践活动一样，生活形式上的一致性是数学实践活动的前提条件。所谓数学证明的强制性只是一种自发的、遵照本能的行为，因为人们在经过日常的充分训练之后，就拥有了共同的行为倾向，或者说，共享了某种生活形式，从而形成了自发地遵守规则的行为，但这并不是规则的强制性要求。三、数学证明是可观察维特根斯坦认为，虽然数学证明陈述了某种一致性，但数学证明的内容并不是由这种一致性确定的，语言才是确定命题内容的先决条件。在当前语境中，维特根斯坦所强调的正是由于人类生命的有限性或观察的局限性等因素限制了我们对数学的实际应用。当然，这也意味着在我们扩展数学系统时必须考虑人类的局限性和经验因素。数字系统的规则，即十进制系统包容了一切事物，这些事物说明数字是无限的。在数字左边或右边，这些规则集没有限制，这就包含了表达的无限性。也许有人会说：真的，但数字仍受限于它们的使用，受限于书写材料和其他因素。但这并不是说数字的用法是由规则来表达的，而是说数字的本质就是被表达的。因此，当人们在进行数学计算时，不论是做算术的人还是教算术的人，都不可避免地会遇到无限性的问题。因为我们人类生命和精力的有限性会限制数学实践的范围，包括数学计算或证明的范围等。正是维特根斯坦对于数学证明可观察性的诉求，使人们将其看成一种严格有限论观点，严格有限论与人类生物学特征有关。为了便于理解，在此引入伯奈斯(PaulBernays)的“可能数字”概念来进一步说明严格有限论的观点。在日常中，我们可能会遇到一些非常大的数字，如666尽管马里恩强调像666(1)P(0)(数字0是可能的)(2)P(n)→n﹤10(3)P(n)→P(Sn)(如果n是可能的，那么Sn也是可能的)上述P系列不同于自然数系列N，因为N系列包含了大于10但是我们仍然会好奇，为什么维特根斯坦关于“数学证明必须是可观察的”言论就蕴含了严格有限论的观点呢?首先，严格有限论者和维特根斯坦都主张，日常计算不会诉求于任何不可直接计算的数学实体，如不会诉求于像10虽然严格有限论对埃拉托斯特尼筛法的运用没有做出实际的限制，但其应用还是存在局限性的。对于严格有限论者来说，不能用某些算术谓词来定义一些非常大的数是否是“素数”。因此，对于可观察性的考虑，最终会导致严格有限论者只允许陈述在可观察范围内的数，而维特根斯坦对于数学证明可观察性的强调，与严格有限论的上述观点是不谋而合的。只有所谓的证明才最终将这个假说与素数本身联系起来。这点表现在如下事实之中：正如已经说过的，直至那时为止，人们可以将这个假说理解成一个纯粹物理学的假说。另一方面，如果有人提供了证明，那么这个证明也根本没有证明人们所猜想的东西，因为我的猜想不能深入到无穷中去。我只能猜想能够得到确证的东西，但是只有有穷数目的猜想能够通过经验来确证。对于维特根斯坦来说，如果一个算术式子完全是不可观察的表达式的话，那么这个算术式子也非一目了然的，证明也就无的放矢了。当然，从认识论来看，我们也还需要数学知识，需要一种把计算方程式看成是与罗素重言式一样有说服力的知识。但维特根斯坦坚持认为重言式只是一种应用，而不是算术的证明。维特根斯坦所反对的是把数学还原到逻辑语境中，或者说反对的是逻辑学家的还原论。由此，达米特认为维特根斯坦不仅是一位严格有限论者，而且更是一位激进的建构主义者。但马里恩并不赞同达米特对维特根斯坦思想的解读，他引用《维特根斯坦的讲座笔记》中的一段话来为维特根斯坦的立场辩护：“假设我们让大数相乘，上千位数相乘，假设在某个点之后人们得出的结果彼此不一致，这就没有办法来阻止这种偏差的产生，即使我们通过检查发现他们的得数偏离了正确的结果……那正确的得数又是多少呢?有人会得出正确的结果吗?或者说这有正确的结果吗?”事实上，“让两个大数相乘”与上述确定一个非常大的数是否是素数的情况是一样的。在实际中应用不同的规则可能得到不同的答案，因为正确的计算结果并没有一致性，也没有某种强制性。在这种情况下，维特根斯坦所面对的难题是，是否仍然有一个正确的得数或答案。达米特倾向于把维特根斯坦的答案理解为“没有”，因为维特根斯坦认为通过某些算术谓词并不能确定一些大数是否是素数。而马里恩认为在两个大数相乘的情况中，维特根斯坦会倾向于说这已经不再是一种计算，因为维特根斯坦在数学实践中所强调的事实是，计算非常大的数会失去计算的确定性，但“这并不是说在原则上不能获得正确的答案。”在维特根斯坦后期著作中，他更加强调实践的重要性。在实践意义上，应用规则或规则本身并不指示或强迫我们应该如何做，只有在训练的语境中，并且只有在拥有生活形式一致性的共同体中，人们才能谈论正确地遵守规则和应用规则，才可以谈论规则的要求。在日常生活中，我们可以一致同意以一种特定的方式来使用某种算术符号，例如“+”这个符号。在实践中，对“+”这个符号的应用也构成了我们对规则的证明，但“+”这个符号本身并不能够确定规则的内容，也不能确定什么样的方式是在正确地遵守规则。后期维特根斯坦强调数学是一种发明，而非一种发现，他把数学的日常运用限制在可观察的范围之中，认为数学证明是基于人们生活形式的一致性。正是基于这些观点，最终导致了人们在解读后期维特根斯坦数学哲学观时或多或少地产生了某些错误的观点。接下来，将通过澄清人们对维特根斯坦观点的误解，以进一步说明后期维特根斯坦的数学哲学观。四、关于逻辑强制性概念的误读在解释数学证明的客观性和遵守规则等观点时，不同的学者都试图解释什么样的应用或什么样的证明是正确的。例如，在证明某个大数是素数过程中，唯心主义者认为证明过程只是根据规则来理解“素数”的心理活动；而建构主义者认为要证明某个大数是素数，可以根据我们的“决定”来解释它，并且最终取决于我们把它看成素数。维特根斯坦的观点与上述二种观点不同之处在于，他并没有具体说明什么样的过程最终决定了某个大数是否是素数，而是强调就命题证明而言，其证明过程要得到大多数人的认可，并且这些人都经过了这样那样的训练，具有共同的生活形式。这是他后来哲学方法的核心信念，即使是哲学家也不能超越这一点来给出某种绝对的解释。通过把维特根斯坦的数学哲学观与其他数学哲学观进行比较发现，维特根斯坦的数学哲学立场是独特的，他明确否认数学证明及数学真理的客观性，把逻辑强制性当成一种虚假的概念。同时，维特根斯坦否认必然性命题，认为这样或那样的命题只是我们采用惯例的结果，并没有什么真正的必然性命题。“我前前后后看过了这个证明，然后接受了它的结果。——我的意思是：我恰恰就是这样做事的。这就是我们这里的习俗，或者我们的自然史的一个事实。”维特根斯坦认为，在阐明各种规则时，我们不需要诉求于强制性概念。也就是说，当我们进行某种数学证明或应用某种逻辑规则时，不是有某种强制性让我们被迫去行事，也不是说规则决定了我们应该怎么做，而是说，我们所拥有的生活形式上的一致性“决定”了数学证明的形式和逻辑规则的应用。正因为如此，达米特把维特根斯坦的这一立场看成彻底的建构主义，因为维特根斯坦不仅否认“数学证明的客观性”，而且还拒斥“逻辑强制性”。通过对遵守规则的反思，维特根斯坦认为逻辑强制性概念似乎只是一些数学哲学家、建构主义者和非建构主义者某种武断的假定。当然，维特根斯坦本人并没有预设逻辑强制性。维特根斯坦后期的数学哲学是直接与逻辑强制性概念相矛盾的，他认为逻辑强制性概念是有问题的，拒斥逻辑强制性概念至少不会威胁到数学的实践性。虽然维特根斯坦否定了数学证明的客观性和逻辑的强制性，但他并没有否认数学证明和逻辑推理的有效性。接下来将具体分析对维特根斯坦数学哲学观存在的三种误解观点，从而进一步厘清维特根斯坦的数学哲学观。(1)对维特根斯坦观点常见的误解是把共同体“决定”的标签错误地贴在了维特根斯坦身上。事实上，维特根斯坦所谓的“决定”概念是说，人们生活形式的一致性在数学证明中起到了重要的作用。这种生活形式的一致性来源于人们日常的训练与培训、某种习俗与惯例等，而并非某个共同体“决定”了把某种特定的符号结构当成数学证明的形式。虽然维特根斯坦强调生活形式的一致性，但这并不表示维特根斯坦在数学哲学中是一位建构论者。(2)维特根斯坦把证明的客观性与可能性限制在可观察的实体域中，这在某种程度上可能会限制数学证明的适当范围，但这并不表示他是一位严格有限论者。维特根斯坦对数学证明的可观察性要求，是要人们远离某种形而上学的说明，而回归日常生活的粗糙地面。维特根斯坦强调，即使是数学证明也应该基于人们的日常经验生活，而不是进行某种形而上学的研究。正是日常经验事实使得我们可以以一种简单的方式来说明一些数学法则，这就如同我们在日常生活中会使用直尺来测量某段距离的长度一样，这样既简单又便捷。因此，维特根斯坦对于证明可观察性的评论并不需要致力于严格有限论，而是源自一种哲学上的诉求，包括我们如何使用字词，以及使用字词的特定习惯等。(3)维特根斯坦在《哲学研究》中强调，“一致性”“规律”“习惯”等概念在理解规则与遵守规则等行为中起到了重要的作用。但是人们对于维特根斯坦的上述概念的理解是存有分歧的。一般而言，人们通常会采取两种解释进路：一种比较极端的解释进路是说，维特根斯坦认为“一致性”“规律”“习惯”等概念决定了对规则的某种特定应用是正确的，或者说正是这些概念建构了规则；另一种比较温和的解释进路是说，维特根斯坦将“一致性”“规律”“习惯”等概念理解为使用规则或遵守规则的先决条件。当然，如果从实际的应用来看，后一种温和解释进路似乎更为可。蛭馗固挂睬康，上述概念只是数学证明的前提条件，而不是说这些概念就建构了数学规则或决定了数学证明的最终形式，也不代表维特根斯坦想要通过上述概念把任何特定符号结构当成一种数学证明的形式。虽然建构论者和严格有限论者都将维特根斯坦数学哲学解读为一种极端激进的立。饬街纸舛练绞蕉挤噶死嗨频拇砦，即未能正确地区分数学证明的必要条件与先决条件。达米特对维特根斯坦进行彻底建构主义的解读，其错误在于把维特根斯坦的观点归为在对任意命题进行证明时，“共同体决定”要起必然性的作用，而在实践证明中“共同体决定”最多只是起到了先决条件的作用，即先要具有生活形式的一致性，然后才能谈论正确地遵守规则。同样，对维特根斯坦进行严格有限论解读的错误在于，把维特根斯坦的“数学证明需要可观察性”的言论看成严格限制了数学证明的范围，而实际上这些因素也属于实践证明的先决条件。在数学证明观上，维特根斯坦是一位反实在论者，他认为数学证明要在实体域中进行，人们的一致性认识虽然是数学证明的前提条件，但这并不是人们意见上的一致性，而是说数学证明要与我们日常经验事实相对应。维特根斯坦认为，我们可以通过阐明数学证明的先决条件来获得适当的数学图景，当我们进行数学证明时，只是在进行某种实践的描述，并没有强制性的管辖。虽然后期维特根斯坦反对数学柏拉图主义，提倡数学证明是一种发明而非一种发现的实践活动，但我们不应该由此将其观点解读为某种kok电子竞技本的数学建构论或严格有限论。况且，目前我们还很难定位维特根斯坦的数学哲学与其他数学哲学之间的关系。尽管后期维特根斯坦对数学证明和逻辑规则进行了比较激进的描述和评论，但其观点也有着积极的现实作用与意义，不应该以偏概全地把他看成是一位数学建构主义者或一位严格有限论者。