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Page192024~2024学年第一学期期中考试试卷高三数学一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,集合,,则图中阴影部分表示的集合为()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析韦恩图中两个集合的关系即可选出答案.【详解】由图所示,阴影部分是集合中的元素解除中的元素所组成,故表示的集合为:.故。篊2.已知为虚数单位,复数,则()A.3 B.4 C.5 D.25【答案】C【解析】【分析】利用复数模的运算性质干脆求解.【详解】因为复数,所以.故。篊3.如图,在边长为2的正方形ABCD中,其对称中心O平分线段MN,且,点E为DC的中点,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面对量线性运算、数量积运算求得正确答案.【详解】..故。篈4.2012年国家起先实施法定节假日高速马路免费通行政策,某收费站统计了2024年中秋节前后车辆通行数量,发觉该站近几天车辆通行数量,若,则当时下列说法正确是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据给定条件,利用正态分布的对称性列式,再结合不等式求解作答.【详解】因,且,则有,即,不等式为:,则,,所以,,A,B,D均不正确,C正确.故。篊【点睛】关键点睛:涉及正态分布概率问题,运用正态密度函数曲线的对称性是解题的关键.5.已知等比数列的前项和为,且,,成等差数列,则()A. B. C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先利用,,成等差数列解出,再利用求和公式化简求值即可.【详解】设等比数列公比为,由,,成等差数列可得,,化简得,解得,.故。築.6.已知是双曲线右焦点,为坐标原点,与双曲线交于(在第一象限),两点,,且,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题须要依据已知条件,在焦点三角形中运用余弦定理,建立与的方程,进而算出离心率.【详解】设双曲线的左焦点为,则为平行四边形,所以因为,所以又,所以,因为,所以,在中运用余弦定理有,得,故离心率故。篋.【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形,称为双曲线的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、得到a,c的关系.7.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术竞赛,决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成果,回答者对甲说:“很缺憾,你和乙都没有获得冠军.”对乙说:“你当然不会是最差的.”若在此对话的基础上5人名次的状况是等可能的,则最终丙和丁获得前两名的概率为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先考虑满意回答者的全部状况,分甲同学为第5名和甲同学不是第5名两种状况,结合分类加法原理求解,再求解满意回答者的状况且最终丙和丁获得前两名的可能状况,最终依据古典概型求解即可.【详解】解:依据题意,当甲同学为第5名时,乙同学可能是第2,3,4名,故有种,当甲同学不是第5名时,甲、乙同学可能是第2,3,4名,故有种,故满意回答者的全部状况共种.其中,最终丙和丁获得前两名的状况有两类,当甲同学为第5名,丙和丁获得前两名时有种;当甲同学不是第5名,丙和丁获得前两名时,有种,所以,最终丙和丁获得前两名的状况有种,所以,最终丙和丁获得前两名的概率为故。篈8.已知,,,,,则()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意变形得,构造函数证得,视察选项,通过变形可知比较的是的大。使乖旌さ闷涞サ鞯菁,由此得到所比大小排序.【详解】因为,,,所以由两边取自然对数得,即,故,再由得,故,令,则,故在上单调递减,又由上式可知,故,由四个选项的不等式同时除以可知,比较的是的大。柿,则,再令,则,故在上单调递减,所以,故,所以在上单调递减,又因为,所以,即,上述不等式两边同时乘以得,故。篋.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知是不同的平面,是不同的直线,则使得成立的充分条件是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用线面平行、垂直,面面平行、垂直的判定和性质推断即可【详解】解:对于A,当时,可能相交,可能平行,可能异面,所以A错误,对于B,当时,由线面平行的性质可得,所以B正确,对于C,当时,由线面垂直的性质可得,所以C正确,对于D,当时,可能平行,可能异面或相交,所以D错误,故。築C10.已知函数,则下列选项正确的有()A.函数微小值为1B.函数在上单调递增C.当时,函数的最大值为D.当时,方程恰有3个不等实根【答案】AC【解析】【分析】求导得,分析的单调性,进而可得极大值、微小值与最值,即可推断ABC是否正确;作出的图象,结合图象即可推断D是否正确.【详解】对于AB:,当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以的极大值为,的微小值为,故A正确,B错误;对于C:由函数单调性知,在上单调递增,在上单调递减,在上递增,且,,故函数的最大值为,故C正确;对于D:当时,,时,,且的极大值为,的微小值为,由上述分析可知,的图象为:由图象可得当或时,有1个实数根,当或时,有2个实数根,当时,有3个实数根,故D错误.故。篈C.11.已知抛物线的焦点为,、是抛物线上两点,则下列结论正确的是()A.点的坐标为B.若、、三点共线,则C.若直线与的斜率之积为,则直线过点D.若,则的中点到轴距离的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】依据抛物线的方程求出点的坐标,可推断A选项;设直线的方程为,与抛物线的方程联立,利用韦达定理可推断BC选项;求得,利用基本不等式可推断D选项.【详解】对于A选项,由抛物线,可得,则焦点坐标为,故A错误;对于BC选项,若直线垂直于轴,则直线与抛物线只有一个交点,不合乎题意.设直线的方程为,联立,可得,,由韦达定理可得,.若、、三点共线,则,,则,故B正确若直线与的斜率之积为,解得,则直线的方程为,即直线直线过点,故C正确;对于D选项,因为,所以,,得,所以,,所以的中点到轴的距离.当且仅当时,等号成立,所以,线段的中点到轴的距离最小值为,故D正确.故。築CD.12.已知函数在上恰有3个零点,则()A.在上恰有2个极大值点和2个微小值点B.在上的最大值是2C.在上是增函数D.的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数,依据给定条件求出的范围并推断D;再借助正弦函数的性质逐一推断A,B,C作答.【详解】依题意,,由,得,由正弦函数的图像知,解得,D正确;函数在上恰有2个极大值点,可能有1个或2个微小值点,A不正确;当时,,而,则在上的最大值是2,B正确;当时,,而,则在上是增函数,C正确.故。築CD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.的绽开式中,常数项为___________.【答案】7【解析】【详解】试题分析:,令,则,所以常数项为.考点:二项式系数的性质点评:本题是基础题,考查二项式定理系数的性质,通项公式的应用,考查计算实力14.已知sin,则___________.【答案】【解析】【分析】“给值求值”问题,找角与角之间的关系【详解】所以所以故答案为:15.已知是定义在上的奇函数且为偶函数,当时,且.若,则____.【答案】8【解析】【分析】依据已知条件可得的对称中心,对称轴,可得为的一个周期,由、以及列关于的方程组,进而可得时,的解析式,再利用周期性即可求解.【详解】解:因为为奇函数,所以的图象关于点中心对称,因为为偶函数,所以的图象关于直线对称,依据条件可知,则,即为的一个周期,则,又因为,,所以,解得或(舍),所以当时,,所以,故答案为:.16.公比为q的等比数列满意:,记,则当q最小时,使成立的最小n值是______.【答案】15【解析】【分析】由等比数列的性质与导数得的最小值后求解【详解】,构造函数,,当时,当时,在上单调递减,在上单调递增,,此时,,;∴.故答案为:15四、解答题:本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和为,,当时,.(1)求证:当,为定值;(2)把数列和数列中的全部项从小到大排列,组成新数列,求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析;(2)4594.【解析】【分析】(1)由可求得的值,令由可得出,两式作差可得出,可得出数列是以为首项,以为公比的等比数列,进而可求得数列的通项公式;(2)确定数列所包含数列中的项,利用分组求和可求得的值.【详解】解:(1)当时,,即,得,当时,因为,所以,两式相减得,所以,,所以,当时,.所以;(2)数列前项为、、、、、、,数列为、、、、、,所以数列前项含有数列的项为、、、、、,共六项,所以.【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法可干脆求解;(2)对于结构,其中是等差数列,是等比数列,用错位相减法求和;(3)对于结构,利用分组求和法;(4)对于结构,其中是等差数列,公差为,则,利用裂项相消法求和.18.在斜三角形中,角,,的对边分别为,,,且.(1)若的面积为,且满意,求角的大。唬2)证明:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)依据三角形面积公式以及求解出的表示,再依据已知的的表示可求的值,则角可求;(2)依据以及正弦定理可得,依据将表示为的形式,结合诱导公式以及两角和的正弦公式进行化简,从而可完成证明.【详解】解:由,,得,又,,.,.由及正弦定理得:,.,,,.【点睛】易错点睛:利用正弦定理进行边角互化时须要留意:(1)合理选择边化角或角化边;(2)隐含条件的运用:;(3)三角函数公式或三角恒等变换公式的运用.19.某机构为了解某地区中学生在校月消费状况,随机抽取了100名中学生进行调查.下图是依据调查的结果制的学生在校月消费金额的频率分布直方图:已知三个金额段的学生人数成等差数列,将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.(1)求m,n的值,并求这100名学生月消费金额的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)现采纳分层抽样的方式从月消费金额落在内的两组学生中抽取10人,再从这10人中随机抽取3人,记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.【答案】(1),(2)的分布列为X0123P期望【解析】【分析】(1)依据频率分布直方图中矩形面积之和为1和等差数列概念得到关于m,n的方程组,解方程组得到m,n的值.进而利用区间中点及对应的频率求解样本平均数;(2)依据分层抽样确定各组抽取的人数,从而确定X的可能取值,进而得到X的分布列和期望.【小问1详解】由题意知且,解得.则所求平均数(元).【小问2详解】由题意从,中抽取7人,从中抽取3人,随机变量的取值全部可能取值有0,1,2,3,且,所以随机变量的分布列为X0123P随机变量的数学期望.20.如图①,在菱形中,且,为中点.将沿折起使,得到如图②所示的四棱锥.(1)求证:平面;(2)若为的中点,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)在图①中,连接,证明出,在图②中,利用勾股定理证明出,利用线面垂直的判定定理可证得结论成立;(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【小问1详解】证明:在图①中,连接.四边形为菱形,,是等边三角形.为的中点,,又,.在图②中,,则,.,平面.【小问2详解】解:以为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系.则、、、、.为的中点,.,,设平面的一个法向量为,则,令,得.又平面的一个法向量为.设二面角的大小为,由题意知为锐角,则.因此,二面角的余弦值为.21.在平面直角坐标系xOy中:①已知点A(,0),直线,动点P满意到点A的距离与到直线l的距离之比;②已知点S,T分别在x轴,y轴上运动,且|ST|=3,动点P满;③已知圆C的方程为直线l为圆C的切线,记点到直线l的距离分别为动点P满意(1)在①,②,③这三个条件中任选-一个,求动点P的轨迹方程;(2)记(1)中动点P的轨迹为E,经过点D(1,0)的直线l’交E于M,N两点,若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q,求点Q纵坐标的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2).【解析】【分析】(1)分别依据选择的条件,设P(x,y),把条件转化为数学表达式,化简得到x与y之间的关系即为P点的轨迹方程;(2)设Q(0,y0),当直线l′的斜率不存在时,y0=0;当直线l′的斜率存在时,设直线l′的斜率为k,M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为G(x3,y3),联立,得到,线段MN的垂直平分线的方程为,令x=0,得y0=-3y3.代入得,从而求得的取值范围.【详解】(1)若、:设P(x,y),依据题意,得整理,得.所以动点P的轨迹方程为.若、:设P(x,y),S(x′,0),T(0,y′),则=3,(I).因为,所以整理,得,代入(I)得,所以动点P的轨迹方程为.若、:设P(x,y),直线l与圆相切于点H,则|PA|+|PB|=d1+d2=2|OH|=4>2=|AB|.由椭圆的定义,知点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.所以2a=4,2c=|AB|=2,故a=2,c=,b=1.所以动点P的轨迹方程为(2)设Q(0,y0),当直线l′的斜率不存在时,y0=0.当直线l′的斜率存在时,设直线l′的斜率为k,M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为G(x3,y3).由,得所以,线段MN的垂直平分线的方程为,令x=0,得y0=-3y3.由得由>0得0<x3<1,所以0<≤,则-≤y3<0或0<y3≤,所以≤y0<0或0<y0≤.综上所述,点Q纵坐标的取值范围是.【点睛】方法点睛:(1)依据条件中的点到直线距离,点到点的距离,向量关系及椭圆定义,分别化简求得x与y之间的关系,即可求得轨迹方程;(2)设直线方程,联立椭圆方程可以求得参数满意的关系,代入到题干条件,求得直线MN的方程,从而求得y轴上的截距满意的一元二次函数条件,从而求得结果.22.函数,是的导函数.(1)若,,求函数的最小值.(2)对,且,证明:恒成立.【答案】(1)2;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求导得,令,求导推断单调性,再求出的最小值;(2)问题转化为①,令,只需证明,求导推断的单调性,可得,即可得出结论.【详解】(1),,当m=1时,令,则,,所以在单调递增,所以,在上单调递增.所以时,,因为,所以为偶函数,即时,即函数的最小值为2.(2)①令,则①式等价于,,当时,,又因为,,所以,,所以,令,则,所以在上单调递减,所以,故综上所述,对,且,恒成立.【点睛】关键点点睛:(1)通过导数与单调性的关系得到最值;(2)将原不等式等价转化为,结合单调性以及分别参数思想转化为求函数最值问题是解题的关键.
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